1.3. �������� � ��������������

��������� �������� �������������� ������� � ������ �� ������ ��������� � ����� - ������ ������������� �������� �������� �� ������� ���������� ��� �� ������ "�� ��������� �� ��� ���", ������� "���� ������ ���������".

���� ��� ����� ���������� ��������� �������� ������, ������� ��������� �����������������. � �������� ����� ������ �������� ��� �������� �����������, ������� � ��� �����������. ��� ����� �������������� ������ ������ ������������� � ������ �� ��������� ���������� � ����� ���������� ������.

����� �������, ������, ����� ������� ���������� ������, ������� �� �����������������? ���, ��� ���������� �������� �� ������ ������������ ����, ����� ����������� � ��������� ����������� ����� ������� �������� ��������������, � ����� �������� ������ � ��������� ��� �������. � ��� - �������� �� ��, ��� ����������� ����������� �� ����� ������ � �����-���� �������� ����������! � ���� � �������, ����� ������ ����� �� ��������� �� �������� (���, ��������, ��������� � "�������" �������), � �� ������������ ����� ���� ���������� �������, �� ���������� ����������� ������������ �� ��������������, �� � �������� ��� �� ����� �� ����������. ��������, ��������� �������� ��������� "����� A ����� �� ������ ����� ������� B � C" ������������ � ������� ��� ������� �����������. ������ � XIX �. �.��� ���� "������� �������", ��������������� ��� ���������. ��� �� ����� � ������ ��� ���������� ���������� � ��� ���������, �� ��������, ��� ��� � ��� ����������.

������� ��������� ��� �������, �������� � ������� ��������. ������ ��� ������-�� ����������� � ���������� ���������, � "���������������� ����������� ������" � �.�. �� ����� ��� ���������� ������� ����� ������������ ������ ��������.

������������ ���� �������� ��������� ������� �������� ������ � ���������, ��� ��� ������� �������, ��� "������ ���� ��������" ����� ������� ��� ��������� ��� ������ ����� ������������������ ����������. ��� ���������� ��������, ��� ����� ������������ ���������, ������� ���������� (��������� ��� ��������), � ����� ��������� ���������� ����� ��������� ���������������� ��������. ������, ��� ���������� ����, ���� ��������������� ������� �������� � �����������, ������� ������� �������� ��� ������ ��������, �� ��������� ������ ������������ ���������. ������ ��� �������, ��������� � ����������, ��� ���� ����� �������� ������� �� �������� (������ � ����������� "����������", ��. �.������ [1945], �.�������� [1908]).

���� ���������� ��������������� �������� ��������, �� ������ ������������ � ������������ "�������� ��������", ������������ ��� �������� (���� ��� �������� �� ������ � ������������� �����������, �� � � ��������� ������� �������� �������). ����� �������� ����� ��������� � ���� ���������� ��������, ������� �������� ����������.

� ������ �������������� ������ �� ��� ��� ����� ���� � ������������ ���������� ��������������� ���������, ������� ������ � ��������� (��� ���� ������ ��� ���) ���������� ���� �����������. ����� ��������������� ������������ �������, �������������� � ���� ����������� ���������� ������� � ������������ �������, � ������� �������� ���������. ����� �������� �������, ��� ������ ���� ���������������� ������ � ������ ������ ������ ����� ���� ������������� � � ������ ��������. ����� �������� �� �������� ������������ ����, ������� (��� �����-���� ������) ���������� ���������� ���� ����������� � ����������� ������, ��� � "���������� ��������", ������� ������ ��������� ������ ������������, ���� � �������� ������� ���������� ������ �� ��� ����������� �������������� �����������.

�� ��� ��������� ������������� ��������, ��������� ����������� ������������� �������� �����? ��-��������, �������� ����� �������� ��, ��� ���� - �������� �������� ����������, ��� ��� ��� ����� ���� � �������� ���������� ������� ����� � � �������� ��������, ����������, ������������ � ������� �������- ����� ��� ��������� � �������� ����� �����.

�� ��������, ����� ������������ ��������� ������������� ������ ���������, ����������� (��������������) ����������� ������� ���������� �������������. ����� ����� ������������ �������� ��������� �����������: ����� ������� ����������� ��- �������, � ����� - ���. �� ���� ���� ����������� � ����������, ��� ����� ��������� "�� ���� ����". ����� ���������, ��������, ��� ���������� (�� ������ ������) ������� ����������� �������� � ������� �������. � ������� ���������� �������� �������� ������: ���� ���������� �������������� �������� � ���������� �������� ������������� �������� (����� VI �. �� �.�.), ���������������� � ������������� � ����������� ������ (�� ����� XVIII �.), ���� �.������ � �.�'�������� ������������ ������� ������� (XVIII �.), ����� ������������ ��������� � ������������� ������ (XVIII-XIX ��.), ��������� ���������� ������ �������� �������, ��������� � ���� ������ (XIX �.), ������� � �������� ������ (������ �� �.). ��� ��� - ��������� ���������� ������������������ ��������������� ���������. ��-��������, "��������", ������������ ��� ��������, ���������� � ����������� ����������� ������������� "������������� ������ �� ����������". ������ �� �����, ��� ������������ ����� �������� "�������������", ��� �� �� �������� �� ������������ ������ ������ �����������. ������� ��������� ���������� (��� ��������������, ��� � ������) �������������.

������������ �������� ������ �� ������ �������� ���������� - �������� ����� ��������� ���������� �� ��������� ����� ����������� ������ (����� ��������, ��� � ���� ������, ��� �� ��������� ������������). �� ����, ����� ����������, ����� ����� ������������� ��������� �������� ������ ����������� (��� ���������� ���������� � �.�.).

�������� ����� �� ��������� ����� �������� ������ � �������� (���� �� �����) ��������������� ��������� � ������������ (� ����������� ������������� �� ���������������). � ���������� ������ ����� ������� ����������: �� �� ����� ����� ���������� �������������� ��������, ������������ ��������. ������� ���� ����� ���� ������ � ������������� ����� "������� �����" ������ ����������.

���������� ��� ������ ����� �������������: ������������ � ���������������. � ������� ������������� ������ �������� ������������ �������� ���������� ������ ������ (������� ���� ����� ����� ���� �����������). ����� �������, "��������������" �������� ������������ �� ���� ����� �������� ��������. ���� �������� ������� ���������� ���������������� � ����������� ������, ����� �� �������������� ������������� (������ ����������� ����� �������������� ������ �� ���������, �.�. ���������� ���������� ���������). � ���������� ���� ����� ��������� �������� ���� �����, ��� ����������� ��������� �������� l�g(x) ��� �������������� x, ������������ � ������� ������� ��������������� ��� ��������������� ���������. � ����� �� ������ ������������ ��������� ����������, ��������� � ������������ �������, �������� �����. ���, ��� ������ ����� ��������������� ������ ���������� ����������, ������ ����� ������������� ����� ��������.

����������� ���������� �������� ��������� � ������������ �������� ������� ��������������� ������� (������ ������������������, ������������� � �.�.) � �������� "�������-������". ������ ���������, ��� ��������� �� �������, ������������������ � �������� "�������-������", �������� ������������ ����������, ������� � �� ������������ ��������� �� ����. ���, ������ ��������, ��� ������ ����������� ������� ��������������� ����� �����, ����� ��������� �������������� ����� "�������". ������ ���� ����������������� ������ ������������ �������������, �� �����������, ��� ����� ��������� ����������� �������, �� ������� ����������� �� � ����� ����� (������ ����� �� ���������������� ������� �.������������). � �.�������� ��� ������� �������� ���������� � �� ������� �� �����...

��������� � ������������������ ������� ����������� �������, ��-������, ��������������� � ���, ��� ����� ���������� ������ ������������� (� �� ������� ����������� ����������� �������), � ��-������, ��� ���������� �������� ������������� ������ �� ������������ �������������.

������������ ����� "���������" ���� �������� ���������� ������, �.�. ��������� ������������. ��������������� �����, ��������, ��������� "���������" � ������� � ���������. ����� �������������� ����������� �� �������� ������ ���������� ��������� ����������� ���������, �.�. "��������", �� ���������� ��������������. ����� ����� ��������� ����������� ������ ��� ��������� ���������� �� ������ ������. �������������� ����� ��������� � ����������� ��������, ������� ������ ����� ����� ������������ (����� ���������) �������� �� ��������� � ���, ��� �������� � ��������. ����� ��� �������� �������� � ������������ ������������� ����� ���������� ������� �����������, ���������� ����� �����, ��������������� ������� ��� ������ ��������. �������� ��������� ������, ����� ���������� ��������������� �����: ������� ��.����� ��� ���������� ����� �����, ������� �������, ������� �.��������� ��� ��� �� ���������� ���������, ������� �.������� � �.�������� ��� ������ ��������.

�������������� (��� �� ��� ������������ �����) ���� ����� ���� ������������� ����������� �������. �������� ������������ ������������� ����� ������ �������� � �������: ��� �� ������������ �������������� ����������� ������� �������� � �������� ��� �����-�� ����� ������? ����� �������� �������� ������, ����� �������������� ����������� �� ������ ��� ������������� ������������ ����������� ������ "���� � ������", � ��� �������� ���������, ����� �� ���������� � ����������. ������� ������ �������-�������� ��� ������ �������� ���� ������� ������ � ����� ��������: � ����������� ������ �������� �.������� ���� ���������� ��������� � �������������� ������� ������������ ������� �� ���������. �������� ������������ ������������� ����� �������� ������: ��������� �� ��� ������������� ���������� ����������� ������?

� ��� ����� �������� �������� ������������ �������������? ���������� � �������� ������� ����������� ������� ��������������� ����� ����� ������������ �����. ����� ����������� ���� ���������� � 1870-� ��. ������������ ����������� ������������ (�.����������, �.�������� � ��.). � ���������� ������ ��������������� ����� �������� �������������� ����� ������������ � �������. �� ������ �� ������� ��� ������������� �������������������? ���������� �� ����� � ����� �������� ��� �������� ����������� ������� ��������������� �����? ��� ���������� �������� � ������� �������������, ���� �������� ������� ���������� ������ � �������� � ������ ��� ��������� ������ ���������� ����� ��������������, ������������ ������� ����� ��������� � �����������? ������� ���� ���: �� ������ ����������������� ������ ���, ��� ����������� ������� ��������� ���� � �������� �������������� �����������. ���� ��� �������� �������������� �����, ������� ����� ��������� ���������� � ������� ���� �� ��� ������������� �� ������, �������� ��� ������� (�� ������ ������, ������������������� �������), ���� ��� ������� ��������������� �������, ���������� ����� � �������������� ������������ �������, ������������ �� ������ ������������������� �������, �� �� ������� ������������ ������� ��������������� �����, ������� ������ �������� ���� � �������������� ��������, � ������������� ��������.

��, ���� �����, ��������� ������� ������������ ������� ��� �� �������� ����, �� ����� �������� � �������? ���������� ����� �������������, �������� ��, ����� ������. � ����� ����, ��������, ��� ��� ��� � ��������: ������ ����� 100 ��� ��������� X � ������� ����� ������� ��������������� �������, ��������� �������� �������������� �����, ������� ����� ����� �� ����������� (�.�. ��� ���� � �������������� �������� ����� �� ���������). � ����� ��� ����� ����������, ��� ��� ������������ �������� �������������� �����? � ��� ��� ��������������� � 100 ��� �����? ��������� �� ������ ������ ��� ������ ����� ��������� - ����� �� ���� ������� ����������� �� �������� X �� �������! ������� �������, ������������, ��� � ����������� �������������� �������� ������ �����-�� �������, ������� ����� ����� �� ��������� ���� �� �������� ("�� ������"), - ��� ��� ��� �� �������������� ���������, ��������� ��� �������������� �������� ������������ ���������� �� ����������� �����������.

� ���� ������� �������������� ���������� � ������ ���������� ����������� ������� � �� ������������� ����������� ���������� ���������� ������������� ���������, �� ������������� �������������. ���, ��� ��������� ������� ��������������� ����� � 1870-� ��. �.������ ��������� �������������� ����� ��� ���������� ������������������ ������������ �����, �.�������� - ��� "�������" �� ��������� ������������ �����. ����� ������ �������� ��������������� ���� �������������.

������ ������������ �������� �������� ��������� (�������� ��, ������ ���������������) ������������ ������� ������������ (��� ������� ���������). ������� � 1930-� ��. ���� ���������� ��������� ������������� �� ����� ��������� ������� ���������: ����������� �������, ������ ��������, ������-���������� �.�����, ������������ ������� �.�����, ���������� ��������� �.�.������� � ��. � �� ���� ������� ���� ������ �������� ��������������� ���� ���������.

��������������� ��������� ������������� ������ ������������ ������� ���������������, ��� ����� ������������������ ������� �� �������� ���������. ��� ����� ������ �������� � ������ ������ ������������ ������� ��������������.

��������� �������� �� ����������� ������� � ����� ��� ����� ����� �� �������������� � ������� ���������� ����������� ���������� �����. ����������� ������ �� ����� ����������� ��� ���� �������������: ���������� ������� � ������� �������� � ������������� �� ����� ������������� ������ ��� ����������� ����������� �������� ������. � ����������� ������� ������������� ����������� ������������ �������, � ����� ���� �������� ��������������� �������������� ������� (��������, ������� ���������) - ��������������� ������� (��������������� ������� ������ � ��������������, ��� �� ������ "�����������" ������ � ������ ��������).

������� �.������ � ��������� (��. ������ 5.3) �������� ��������� ����������� � ���, ��� ��������������� ����� ������������ ��� ������������� "������, ���������������" ��������������� ��������. ����������� ���������� � ������������ �����, ������� �� � ��������� �������� ��� ��������� �������������� ����������. ��� ������� ����������. ����� ����� � ���������� �����-���� ������������� ����������� ����������� �����, ��� �� ����� "������� - ����������"? ���� ��� � ������ �������������� ����������� �������� � ���� ����������, �� ����� ��������: ��� ���������� ���������� �� ������������ �������� (�.� �����, ������� �� �������� �� ������ ������ � ������� � �� ������ ���������� � �������)? � ���� ������� �������� �������������, ��, ������ �������� ������������� �����, ����� �� ��� ���� ������, ��� �� ������ ����� ���� ��������������? ���� �����-���� "�������" ������ ���� ��������������, ��, �������������, ������ �������� �� ��������������! ��, � ��������, ��� � ���������� ����� ����������� (�� ������������ ��������) ������� "�������", ������������ ���������� �� ���� �����������, �������� ������ � ������������ ��������� ����������� ����������.

����� �������, �������������� �������� �� �������������� �������������� - ������� �� ������������, ��-��������, ��������� � ��������� ������������ ����� ���������� (��. ������ 6.1).

� �������� �������� �������������� ������ �������������� � �������� ���������������. �������������� "���������" ��������, ����� �� "���������� � ����". �� �������������� ������ �� ����� � ���������� �����������: ������ �����������, ������� � ����������� ������ ������� ���������� �������� ����� ������ � ������������ ���������, � ��������������� ������ ����������� ����� �����������. ������� ����� ������ ����������� ������ ��������������� (�������� ���� ��� ������ �������������� �� ������� ����������� ����������� ������) ����������� ��������� ����� ��������, ������� ��������������� ����������� ������ � ����������� ��������. ������ ���� - ������� �������������� ������ ��������. ����� � ����������� ������ �������� ������� � 1890-� ��. ���� ���������� ������������, �� ��� ������� ���������� ����� ��������������. �����������, ��� ��������� ��������������� ������ �������� �������-�������� ���������� �� ����������� ������ ������� �� ������ ������, �� � ���������� ��������� ����������. ��� ������ � ����� ������ ����������� ������� ���������������� �������� (� ��� ����� ������ �������� �������� � �������). ���� ������ ���������� ��������� ������ � ������ �������-�������� �� ����������� ������. ������ �� ����� ������ ������������ ��������� ����� ������� ���� ������.

����� ������ ���� ��������������?

��-������, �������������� ��������� "����������" ��������: ��������� ����������, ��������������� � ���������, ������� ������ ��������� ��-�� �������� ���������������� ��������������� ���������. ����� ������������ ������ - ������� �������������� ������ ��������, �� ������ ��� ��������.

��-������, �������������� ��������� ����������� ���������� ������������ ��������� ����� ���������� ������ (������ ����� ���������� �� ����������� ��� �������������), � ����� ����� ����� ���������� � ��������� ������. ��� �������������� ���������� ������� ������ ��������� �� ��� ������� ������, � ������ �� �����. ������������ ������ ���� ����� �������� � �������� ����� ����� ������, ������� ��������� � ��������� ���������� �������. ������������ ��������� �������� ������ ����� � �������������� �� �������������� �����������.

�-�������, ������� ����� �������������� ������� ���������� ��������������� ������ ������ ��� ������� ��������� �������, ����������� ����������� � ���. ������ ��� ��������� � ���������-��������� � ������ ��������. � ����� ������� ����� ������� ������ � ������������� ����������������� ������� ������ ������, � �������� �������������� ��������� ������ � �.�.

 

1.4. ���������� ������

��������� ������ ����� ����� ������� �������������� ������? �������� �� ������ �������� �������� �� ����������� ������, �.�. ������������� �������� ������ � ������� ������ � ������ ������?

� ������ �.�����, �.������� � �.���������, ����������� � ����� XIX - ������ �� ��., ������� �������������� ���� ��������� �������������� ������ ������������� ������� ������� �� �����. ��� ���� ������������ � ���� ������������� ������� ������ � ������ ������, ��� ������ ������� ��������. ���������� �������, ������������� ����� ���������, ��������� ��������� ����������������� ����� ������, ������� �������� �� ��������� ������� ��������� (�.�. ����� �������������� ������).

��� �� �������� ����� ��������� ������������������� ������? ���� ����� �� �������� ����������� ��������, �����������, ��� � ��� �� ���� ��� ����������� ������ �������, �� ���������� �� "��������" - ����� ���������������� ������ ������ � ������ ������. ���� "�������������" ���������� �������� ����� "���� A ������ B � B ������ C, �� A ������ C" ������ ���������� �� ���� ���������������� ������ � ������ ������.

����� ����� ������� ������������ ����� ���������� � �������� ������ ����������: ������ T ����� ������� ����������, ���� �������� �������� (����������� ����������� ��������� ����������) ��� �������� ������������ ����������� � ����� ������ ��������� ������ T. ��� ������, ��� ���� ����� ������������ �������������� �����, ����������, �� ��� ������, ��������������� ��������� ������� � ������ T, �� ����������� �������� ��������, �� ����� ���������, ������������� �� ������������ ����� ������������� ���������� ������������, �������� � T. ����� �������, �������� ������������ ����������� ��� ������ T ��������� ��������� �����, ��� �������� ��� ���������� ����� �������� �������������� ������ (������� �������, ��� ���� ���� � �������� ������������ ������� �������������, � �� �� �� ������!). ���� �������� ������������ ������������� � �����-���� ������ ������ �������� �������������� ������ � ��� �������� � ������ ���� ������ ��������, ������, ��� �� ��� �������� ������ ����������������� (��, ��� �� �� ����� �������� ������, �������� � ����� �������� � "������" ���������� ���� �����������).

� �������� ������������ ������� ���������� ������ ����� ������������� ���� � ������� - ������� ��� ������� �. ������������� � � ����� ������� ������� (������������ ������������ ����� �� ����� ������ � ��������� "��� �����" ��� "��� ������"). ����� �������� ������ � ����������� ������� ��������� �������, � ��������� ������ - ������� ����, ������� ����������, ����� ���� ��������� � ������ �������. ������� ��������� �������� �� ����� ����������� ������. � ���������, ����������� �� ����� ������������ �������, �� ����� �������� ������� �. ����� �������������� ������ � �������, ��������, � ���, ��� ��� - ������������ �������, ������� ����� ����������, ���� ����������� ������, �������� �������.

���������� 1.1. ������� ������ ������������� ����������� ������ �.

� ��� ���������� ������������ ������ �? ���� ����� ���������� ��� "�������������� �����" � ����������, ��� ��� - �������������� ������� A � ������ �, �� ����, ��� ���� ���� � ������������� ������ ��������� ������, ����������� (��� ����������) � ������� A. �������� �� ��������, ������, ���������: ������� ���� �������������� ��������� �����, ��� ����� ��������� ��������� ��� �������������� ������, ������� ����� ������������ ����� ��������. (��� ��� ��������, ��� ���� ���� � �������� ������������ ������ ��������� ������, � �� � �������� ����, ����� �� �������� ������� ��������, ����� �� ��������, - ��� ������ ������� �������!)

���������� 1.2. ������� ����� ������ ���� ��������� �� ����� �� ������ �������� ������.

��������� ��������� ������ ������ ���������� ������ (�� ���������� ��� � �.���������). ������������� � ������ L �������� ������������ �������, ������������ �� ���� a, b �������� a, aa, aba, abaab. ������������ �������� L �������� ������� a, �������, � L ������� ��� ������� ������:

X X

--------, ---------.

Xb aXa

����� ������ ��������, ��� � ������ L �� ������� X ��������������� ��������� Xb � aXa. �������� ������� L �������� ������� aababb:

a |- ab |- aaba |- aabab |- aababb.

���� ���� ������ ������������ ���: L |- aababb (��������: � ������ L ��������� ����������� aababb).

���������� 1.3. �) �������� ��� ������� L, ���������� �� ����� 7 ����.

�) ������� ��������, ���������� ������� L �� ������ �� �����������.

����� ������ ����� �������� ���������� ������ ���� ���������

���������� 1.4. ��������, ��� ��������� ���� ������ ���������� ������ �������� ���������� ������������ (�� ������ ������������ - ���������� ������������).

����� �������, ������������ ��� ������ ���������� ������ ���������� �������������� ������, ������� �������� �� ������ ������ ��� �� ������� (� ������ ����� ������). � ���������, � ����� ������ ����� ������ ���� �������� ��� ������� ��������, ������� ������ ���������� �����������: ��������� �� � ������ ������ ������ �����������? ����, ���� ����� ������, �� ��������� �������, ����� ������������ ��� ����������� ����������, �� �������� ������ (����������� ��������� ����������). �� ���� ���� ������ �� ��������, �� �� ����� �����, ����� �� ����������� ���������� ����� ��������� ����� ��� �� ����� ���������� ������.

������ T ������� �������� ���������� (��� ���������� ����������), ���� ���������� ��������, ������������ ������� T ����� ���� �� �����������. � ���������� 1.3 �� ��������, ��� ������ L �������� ����������.

����� ��������� ���������� ������ �������� ������ ��������� "~". � ����� ������� ������� ��������, ���������� � ��������� ����������� A, �������� ���� �������������� A, ���� ��� ������������ (�.�. �������������� ~A). ���� ��� ������� �������� ���������� ��������������� ������������� ������� �� ���������� 1.4, �� ��, ���� ����� ������, ������ ���������� ������ ����������� A ��� ~A. ���� ����� ���������� ��� �����������, ��� ����� ��������, ��� ������ T ������������� (� ��� ����� �������� ��������� ����������� ������ � ��� ����������). ������ ����� ����� ������ �����������: �) ����� ���������� A, �� �� ~A, �) ����� ���������� ~A, �� �� A, �) ����� ���������� � A, � ~A (����� ������ T �������������), �) �� ����� ���������� �� A, �� ~A. � ������ �) �� ����� ������ � ������������� ������ ����� ������ �����, ������ �� ����������� A, �� ~A �� ��������. � ���� ������ ������ T ������� �������� �������� (� ������ ���������� ������, � ������� ����� �����������, ������� ����� �������������� ���������� ����� ������, ����� ���� ��������, ���� ������������).

���������� 1.5. ��������, ��� ������ ������ ���������� ������ ���������.

 

1.5. ������

������� ������� �������� ����� ������� �����������, ����������� �� ������ �������. �������������� � ������ ��������� ���������� ������ ������ ����� ����� ����� ������ ���������� �������, � ����� ����� ������ ������ - ���������� �������.

������� ��������� ������ ������ �������� �� ����, �� ������� ������������ ����������� ������ (�������, �������, �������� � �.�.). ���������� ���������� ��������� ����� ��������� ���������� ������ ���������:

�) ���������� (� ����� ����������� ��������� ������ �� ������ "������������" ����������� ���������� �����-���� - ���������� ��� ���� - ������� ��������: "��� ����������� �����", "��� ���������" � �.�.),

�) ��������� (��������, "0" � ����������* ���������� �� ����������� ������ ��������� "�������������" ���������� �������� �� ������� �������� ����������),

�) �������������� ������� (��������, "+" � ����������* "������������" ��� ������� x+y),

�) ����������� ������� (���� ����� ��������� ������ �������� ��� ������� ������ "=", ���������� ���������� ��� ��������� "��������" ������),

�) ���������� ������ � �������� (��������� "~", ���������� "V", ���������� "&", ���������� "->", ������� ������������� "E", ������� ����������� "A"),

�) ������ � �������.

�� ����������, �������� � �������������� �������� (� ����� ������ � �������) �� ������ ��� ������� ����� �������� ������������ �����. ��������, � ���������� �������� ���� (x+y)+1, ��� x,y - ����������, 1 - ���������, + - �������������� ������. ����������, ���� - ���� ��������� ����������� ��� "�������" �� ������� �������� ���������� (��������, (1+1)+1 - ����������� ����� 3), ���� ����������� �������.

�����, �� ������ � ����������� �������� ������������ ��������� �������. ��������, (t1 =t2 ), ��� t1, t2 - ����� ����� ������. ��������� ������� P(t1,..., tn ), ��� ti - �����, � - ����������� ������, ������������ ����� �����������, ��� "�������", ������������ ������� t1, ... ,tn , ��������� � ���������, ������������ ����� �.

�� ��������� ������, ���������� ������ � ��������� �� ������� �������� ������������ ������� ������, ��������

(Ax)((x=0)V~(x=0)).

��� ������ ��������� �������, ��� ���������� ������� ������� ����������. ��������� ������� - "������������ ����������� �� �������� ������", ����� ��� "����������" �������, ������� ��������� ����������, ����� �������� �� ����, ����� ���������� �������� ��� ���������� ���������. ��������, ������� (x=0)V(x=1) ����������� "��������" ��� x=1 � "������" ��� x=2.

������� ������, ��� ����� �������������� ������ ���������� ������ � ������ ������, ����������� ��� ��������������� ������������ ���������� ������� �����������. ����������� ������ ����� ������������ ������� ������ (������ ����� �������� � ���� �����������, �� ����� �������������� ��������� ������). ��������������� �� ��������� ��������������� ���������� �������, A<->B ������������ ��� (A->B)&(B->A).

������� ������ ������:

L1) A->(B->A),

L2) (A->(B->C))->((A->B)->(A->C)),

L3) A->(B->A&B),

L4) A&B->A,

L5) A&B->B,

L6) A->AVB,

L7) B->AVB,

L8) (A->C)->((B->C)->(AVB->C)),

L9) (A->B)->((A->~B)->~A),

L10) ~A->(A->B) (�� ������������ ������� ���),

L11) AV~A (����� ������������ ��������),

L12) (Ax)D(x)->D(t),

L13) D(t)->(Ex)D(x).

����� A,B,C - ������������ �������, D - ������� � t - ���� �����, ��� �������� D �� ��������� ����������, �������� � t.

��� ���� ����� ������ ���������� ����������. ����� ������� �������, ����������� �������� ���������:

L14) x=x,

L15) x=y -> y=x,

L16) x=y -> ((y=z)->(x=z)),

L17) x=t -> (D(x,x)->D(x,t)).

����� D - �������, ���������� x � ���������� ����� t ������ ��������. ����������� D(x,x) ������������, ��� ��� ��������� ���������� x � ������� D ������� �� ��� ������. ���� ��� ��������� ������ ������ �������� �� t, ��������� ������� D(x,t).

����� ������ ����� ��� ��� ������� ������:

A, A->B C->D(x) D(t)->C

--------------, ---------------, ---------------

B C->(Ax)D(x) (Ex)D(x)->C

������ ������� ������� �������� MODUS PONENS, � ��� A,B - ������������ ������� ������. � ��������� ���� �������� ������� C �� ������ ��������� x � ���������� ����� t.

����������� ����� ������ ������ � ������ ������ ���������� ��� ���������� ������� ���������� ������� �����������, ������������ � �������������� �������. ����������� ������ ��������� ���������� ������ ������ �������� ���� ���� ������, ���� ���� �� ������ ��������� ��� ������������. ����������� �� ������ ��������� ������ �����������: �) � ���������� ��������, �������������� � ����������� ��������, �) � �������� ����������� ������ � ��������� ������, �) � ����������� �������� ������. ����������� ������ ������ ���������� ������ ������ �� �����.

������ ����� ������������� ���� ������ ������ ��� ���������� ������������ ������. ��� ������������ � ����������� ����������� �������������� ������. �������� ����� ������ L11: AV~A (����� ������������ ��������), �������� ��� ���������� �������������� (��� ����������������) ������. � �������, ������������ �������������� ������, ���������� �������������� ������������� �������� ������� "�� ����������". ����� ���������������� �������������� ������������� �������� �� ����� ~~A->A, ������� ����������� L11 (� ����� �������� ����������� A �� ��������� ~A � �������� ��������, ������� ������������, �.�. ���������� ~~A, � ������ ����� �� ���������� A). ��������� � �������������� ���������� ��. �.�.�������� [1979], �.�.������ [1973].

���������� ���� ������ ����� L10: ~A->(A->B). �������� �� ���� � ������ ���������� ������������ (�������� ������������ ��������� ������� A � �� ��������� ~A), �� ��� ����� ���������� ��������� ����� ������� B. ����� �������, ��� �������������� ������������������ �����-���� ������ ���������� ���������� ������������� � ���� ������ ���� �� ����� ������� (��������, 0=1)).

���������� ���������� ������ �������� ����� ������� (Ex)x=x (���������). ����� �������, �������� ����� ������ ���������� ������ ��� ����������� "�������������" �� ������� ���� ������ "�������" ������.

������ ���������� ��������� �������� ������� ��������: ���� � ������ T, ������ � �������� �������� ������� A, ����� �������� ������� B (����������� ������ T,A |- B), ������ � ���� �������������� � ��������� ���������� �� A �� ����������� ������ � ������ ������� ������, �� T |- A->B, �.�. ��� ��� ������ ������� � ������ � ��������� ���������� A->B.

���������� 1.6. ��������, ��������� ������� ��������, ��� ������� L15, L16 ������� �� ��������� ������.

 

1.6. ��������� ���������

� ������ XX �. ����� ���������� ���� ���������� ��� ��������� ��������: � ������ �������� ���� ���������� ��������� - ����� ��������� ������������. � ����� ������� ������ �������� ��� ������ �������� ���� ��� ������������ ������ � ��������������� ������ ����������. ��� �������� "������ � ������" �������� ��������� ����� �������� ��������� � 1904 �. ���� ��������� ����������� ��������� ����������, ������� �������� �� ���� ������:

�) ����������� ������������ ���������� (������� ��������� �� ���������� ������� ������ ��������) � ���� ���������� ������.

�) �������� ������������������ ���������� ������ (�.�. ��������, ��� � ���� ������ ������� ����������� �� ����� ���� �������� ������ �� ����� ����������).

������ ������ �. �) �������� ������� �� ����� ������� �������������� ����������, ������� � XIX �. � ��� ��� ����������� ����������� ������� (��������� ������� �������, �������������, ��������������� �����, �������������� ���������� ����������� �����, ��������� � �.�.). ������ �� �. �) ���� ����������� ������������� - ���������� �������� ������������������ ���������� � �. �) ������������� ������. �.�������� ������ �����, ��� ������� �� ����� ������ �) ������ ��������� ���������� ������ �).

���� � ���, ���, �� ����� �� ����� �), �.�. ��������� ������� � ������� ����������� ����������, ������ �������� �� ���������� �������������� ������������������ ����������. � ����������� ������ ����� ��������� ���������� ������������, �.�. ����� ��������� ��������, �������� ������������ (�����������) ������� �����������, ��������� ����������� ������ � ��� ����������. �� ����� ������ ���� �������� ���������� ������������������ ����������� ������, ��������� ����������� � ������������������ ��������� � ��������� ���� ������, ���������� � ������, �.�. � ������������, ������� ����������� ������� �� ��� ��� �� �����.

������, ���� ������ ����������� ������ ����� ����������, ��������� ����������. ��������� ������ ���������� ������ �������� ��� ����� ������������ ��������. �������� �� ��� ��� ��� �� ����������. ����� �� ������� �.�������� ����������� �������� �������������� ����������� � ������������������, ������������ �� ����� ����� ������������ ���������?

�������� � ����� �������� ���������� ������. � ������ � ��������� ���� ������ �����������, ������, �������� (���� ���������� ��� � ������������ ����� ������ ����� � �������������). ����� �������� ��������� �����������, ����������� �� ���� �������� �: �� � ����� ������� ����� �� ����� 10 ������. � ����� ����, ���������� ��������, ��� � ������� � ����� ����� 1 ����� � 8 ����� � ��� �� �������� ���� ����� ������ ����� ����� ������ ����� �����. ��������� ������ ����������: 1+8<10. ����� �������, �� ��������� � ������� ������ � ������ ������ ������ � �����������, ������� ������ ������������ ���� ����� ����������� � �������� �.

����������� ����������� ����� � ������ ������ L. ����� ��������, ��������, ��������� �����������, ����������� �� ���� �������� L: ���� X - �������, �� aaX - ���� �������. � ����� ����, ���� X=a (X - �������), �� L |- aaa �� ������� ������� ������. ��� ����� ��������. ��� ��������: ���� ��� ������� X ����������� aaX ��� �����������, �� ��� ������ aXa � Xb ����� aaX |- aaaXa, aaX |- aaXb. ����� �������, ��������� �� ��������� ������ �������������� ������ ����������� �����������.

����, ���� ��������� ���� ������ ������ ����� ����������, ����� ���������� �����������, ����������� �� ���� �������� ������������. �.�������� �������, ��� ����������� � ������������������ ������ �� ����� �����������. ����� ������, �� �������� ��������� ����������� ������� ������ ���� ����������, ������� ������ ����� ������������ �����������.

�������, ������, ��� �����������, ����������� � ������������ ��������� ��������, �� ����� ���� �������� ������� ������������ ��������� (��������� ��������). ������ ��� �������������� ��������� ������ ���� �������������. ��������, ��� �������������� ����������� L |- X --> L |- aaX �� ��������������� �������������� ���������. ��� � ����� �� ������ ������� ���������� ������������������ ���������� ������, ������������ ��� ������������ ����������? ����, ��� �������� �����������, ������������ ��� ����������� ������������������ ��������� ������ �, ������ ���� ����� ��������� �� ��������� �� ����������, ������������ � ����� ������ �. � ����� ����, ����� �� �������� �������������� ������������������, ���� � ��� ������������ ������������ ��������, ���� ����������� � �����������? �� ���� ������ � ���������� ��� ����������, �� ������� ������� �����������, ��������� �� ����� �, ��������� ����� �� �����. ������� ����������� ��� �������������� ������������������ �������� ����������� �� ��������� ������� �� ����� (�������������) ������ � - �� ��� �� �����, ������� �������������� ��� �������� ��������.

� ���������� ����� ���������� ��� ������ "����������" �����������:

1) �������������� ("����������") ����������� ���������� ������ ������� ������ ����� � ����������� ���������� �������,

2) ���������-������������� ����������� ���������� ������������ ������� � ������������ ���������.

������ ������� ��������� �������� (��� ���� ��� ���������� ��������), ������ - ������� (��� ������ ������� "��������" �� ����� ������������). �.�������� �����������, ����������, �� �������������� ������������������ ���� ���������� ���������� ������� ������.

�����, ��� ������ �.�������� ������� � ����� ������� (1904 �.), ����������� ��������� �.�������� �������� �������� � ��� ����������. �� ������ �.��������, �.��������, ��������� ������������������ ���������� � ������� �������������� �������� (����� ������ �������� ������� ������), ��������� � ����� ������������ �������� ����. ������������������ ���������� �������� � ������������������ �������������� ��������,... ���������� � �� �� �������! ���� ��� ����� (������� ������ �.���������) ��� �������� ����������� ����� ������... �� ����� 25 ��� �.������ �������, ��� �.�������� ��� ����: ���������� �������������� ������������������ ���������� ���������� (��. ������ 5.4).