2. ��������������� ������ ��������

 

2.1. ������������� ����������� ������ ��������

������������� �������� ������������� ������������ ��������� - ������������ ��������� �������� ���������� XIX �. ������ ����������� ����� �������������� �������, ����������� ��� ������ �������� XIX �., � ������ �������� ��������� ����������� �� ����������� �����. ��������� ��� ��� ������ �������� ����������� ������� �������� ��� �������� ���������� �������� �� "������" ����������. � ������������ ������� � ������������ ����������� ��������� �.������� �������, ��� �� �������, �������� ���������� ����� �����. � 1872 �. �� ������� ������� � �������������� ���������� ������� � ��� ����� ��� �����, ������� �������� � ��������� (a,b) �����, ��������, ��������, �������� ����� �����, � ������� ��������: ��������� ����� ��� ������� ��������?

� �� ����� ���������� ����� �� ������ � �� �������� �� ������� ������ ��� � ��������� �����. ��� ������������ ���� ������� ��� ��������� - �����������, �������� �����, � ������� ����� �������� ��������� �����, �� �� ������������ ��� ���, "�������" �� ����� ������� �� �����, ������������� �� ���. ������� ������ ���������� �����, �� � �������� XIX �. ��� ����� ������ ��������������.

������������� �� �������� ������ ��� ������������� ����� ��������� � ����� ������ �������� "������" ���������� - � VI �. �� �.�. �����������, ����� ���� ����� ���� ������ � ������ ������������� �������� � � �������� �� ����� � ������ �������. ���� ������� ��� ����, ��� ��� ����� - ����������, �� ����� ������� �����, ��� ��������� ����� ���� �������� ������ ���������� ������������ ������. ����� �������� ������ ��� ���������� ������ �����������, ����� ���� ���������� ������������� ������������� �������� (������ ����� ��������������� ��������� �������� � ��� �������). � ���� ��������� ������ ������ ������ ����� ����������: ���������� �������������� �������� ��������� ����. ����� �� ������� ��� ������ � V �. �� �.�. - �� ������������� �� ������� ������ ��� � ������������ ����� �������� ����������. ������ ���� ������� ������������� ��� �������� �����, � ������� ����� �������� ��������� �����, ����� ���������� ��������� ���� �������� � �.�. ��� ����� �������� ����������� ����������� ��� ��������� �� 70-� ��. XIX �., � �� �� ������ ���������� ���� ����������� ���������� ����� �������.

����, �.������ �� ��� ����� �������� ��������: ��������� �� � ���� ������� � �������������� ����������, ���� ��������� �������������� ����� ����� �����������? � ���� �� ����� ���� ����� ��� ������ ������� � ����������� ��������� �����. ������� �� ����� � ����������� ���� ����������� �������� - � ��������, ������� ���� ���������� �����, ��������

{ 1/n | n >= 1 }.

���������� ������ ����� ��������� �������� ����. � �.������� ������� �������� ������� �������������� ��� ������, ����� ��������� �������������� ����� ����� ���� ���������� �����. ���������� ��������� �� ������ ��������� � �������� ������ ���������� ����� ��� ����������.

��������� ��� - � ����������� ���������, �������� ���������� ����� ���������� �����. ����� ��������� ����� ������������ ���������� ����� ������� �������, ������ ������� ��������� "�������" ���������� �����, ��������

{1/m + 1/n | m,n >= 1}.

� ��� ����� �������� �.������� ������� �������� ���� ������� ��������������. ������ ����� ���� � ���������� ������ ��������, ���������� � ������ ��������, �������� � ������ ��� ����� ������� ����������� ��������� �����.

��� ����������, � �������� ������ �� ��� ����� �������� ����������� �����, � �.������� ������ ������������� ����������� ������� � ������������ ����������� ���������. ��� ������� �������������� �������� � ����������� ������� ������������ �������� ����������� �������� ����� �������. �������� ������� ��� ����������� ������������ ���������: ���� P - ��������� �����, �� P' - ��������� ���������� ����� P. �� �������� ����� ���������� ������ P'', P''', P'''',...

���������� 2.1. ��������, ��� ��� ������������� k ��� ���������

Qk ={ 1/n1 +...+ 1/nk | n1 ,..., nk >= 1 }

k-� ����������� ��������� Qk(K) ������� �� ������������ ����� 0.

���� ������� � �������������� ���������� � ��� ����� �.������� ������� �������� �� ����� ��������� �������������� ����� ��������� �������, �.�. �� ����� ��������� P, ��� ������� ���� �� ����������� P(k) �������.

�� � ������ ����� ��������� ������. ����� ������� � ���������� ������ "������������ �������" - ��� ����������� �������� �����, ������� �������� ���������� ������ k-�� ������� ��� ������ ������������ ����� k. ��� ������, ��� ����������� ��������� ������������ ������� P(w) ������������ ��� ����������� P'^P''^P'''^... ����������, �.������ ������� ������� � �������������� � ��� ������, ����� ��� ��������� �������������� ����� P ����������� ��������� P(w) �������� ��������. �� � ������ ����� ��������� ������ - � ����������� ����������

P(w+1) = (P(W) )', P(W+2) , P(W+3) ,...,

P(w*2) , P(w*2+1) ,..., P(w*3) , P(w*3=1) ,...,

P(w*w) , P(w*w+1) , ...

����� �������, �� �� ���� ����� ������� �.������� �� ������ � �������� ������������� ������������ ���������, �� � � ���������� ������� ������������ ����� - � ��� ���������� ����������� ���������� ������ (��� ���������, ��. ������).

���������� 2.2. ���������� ��������� ��������� P �����, ��� P(w) ={0}, ��� P(w*2) ={0}, ��� P(w*w) ={0}. ��������: �������� ����������� ���� �������� Rk =Qk ^[0,1/k].

� ����� 1873 �. �������� �������� �������: 29 �������� �.������ ����� � ������ �.���������, ��� ����� ���������� ������� ����������� ������������ ����� ������������� � ������������ �������. ��� ���� ��������� ������ ���� �����������

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1,...

----- ---------- -------------- ----------------------------

2 3 4 5

������� ���� ������������ ����� � ������ ��������� � �����������, ������ 2, ����� - � ������, ������ 3, � �.�. � ���: � ���� �� ������ �.������ ����������: � �� ������� �� � ��� �������������� ����� �������������� � ������� ����������� �����?

��� ���� ����� ��������� � �������������� � �������������� ����������! �.������ ��� ������� �������� ������ ���������� ����� - �� ������ ������, � ������� ����� �������� ��������� �����, � ������, ������� ������� �� �����, ������������� ���! ��� ������������ ��������� ������� �.������� ��� ����� �������� ����������� ����� - � ��� ������ ��������� "�����������" �� ��������� �����. ������ ������������� � ���������� ��� � ��������� ����� ����� (����� 2000 ���!) ������ ����� � ����������, ������� ������ ����������, ��� �����-�� ����� ����� ���� �����-�� ��������.

� �������� ������ �.�������� �������, ��� ����� �������������� ������������ ������� ��� �������������� �����. �� �������������� ��� �������������� ����� ��� �� �������...

����������, ��� �� ��������, ��������� � ����� ��������� ������ �.��������� (7 ������� 1873 �.) �.������ ����������, ��� ������� ����������� ������������ ����� ������������ � ��������������� ������� ����������. � ����� �������������� �.������ �������� �����������, ��������� ������������ ������������ �������. �� ������� �� ������������ ������������������ �������������� ����� a1 , a2 ,..., an ,... � ������������� ��������� (b, c), ����� �������� �� ��� �����, ���� �� �� ������, ������� �� �������� a1 , ����� ����� �� ��� ��� ����� � ���� �� �����, ������� �� �������� a2 , � �.�. � ���������� ���������� ������������������ ������������� ���������� (bi , ci ):

b1 <= b2 <= b3 <= ... <= c3 <= c2 <= c1.

����� ����� (������) ���� ���������� � ������������ ����� �������������� �����, �� �������� � ������������������ a1 , a2 ,..., an ,... ����� �������, ������� ������������������, ��������������� ������������ �������, �� ����� ��������� ��� �������������� �����.

��� ���� ��� ���� ��������� - � �������������� � �������������� �������������. �����������, ������ � ����������� ���������� ����������� ����� ���������� "��� ����� �����������" ��������� �������������� �����, �.�. ���������� ������������� �� ������� ���� ���� �����. ������� ������� ���� ����� ������������ ������� �������������� ������������� ��������������� ����� (� ������������ �������������� ����, ��� ��������������� ����� "������� ������", ��� ��������������, ������� ����� �������������� � ������� ����������� �����). ������, ���������� ��������������� ����� �������� ��� � 1844 �. �.��������, � � 1873 �. �.����� �������, ��� ��������������� �������� ����� e.

��������� ������������� ���� ����� �������������, �.������ ����� ������: � ������ �.��������� �� 5 ������ 1874 �. �� ����� � ����� �������� �������� ���������� ��������� �����������. ��������, ��� ������ �����: ������ �������� ��� � ������� ������? �������� ��, ��� ������ �����������, ��� ������ ������ ���� �����. �.������ ����� ������� � ��� � ����� 3 ��� ������� ��������. ������ ����� �� ������� ����� ���������� �������� ��������� (�����������!) - ��� � �������� ������� �� �����, ������� � �������. � ��� ��� ����� �� �������, � ��� �� ������� � ������ �.��������� �� 20 ���� 1877 �. ����������� �.������� ����� ��������� ������ ���������. ����������� �������� [0, 1)x[0, 1) � ������� [0,1] �������� � ������� ���������� ���������� ���������:

(x,y) z,

x=0,abcd...,

y=0,ABCD...,

z=0,aAbBcCdD...

�.������� ����������, ��� ��� �������������� "����������" ������� �����������. � �������� ������ �.�������� ������, ��� ����������� �.�������, ������ ������� �����������, �� �������� ����������� (��� ����������� ����������� ����������� ����� �� ������ �����������?). ������ ������� - ��.����� � 1890 �. � �.�������� � 1891 �. ������ ��������� ����������� ����������� ������� �� ������� (�� ��� ����������� ������� ����������� ��� �� ���������). � ������ � 1911 �. ����������� ��������� �.������ (������� - �������������� �������������) �������, ��� ����������� ����������� ��� ������������, ������� ������������ �������� � ������������, ������� ������������.

����� ��, � 1877 �. �.������ ������ � ���������-��������: ��������� � ������ ���������� ����������� ����� (�� ������, �� ���������, � ������������), �� ��������� ������ ��� ���� ����������� ��������:

- ������� ��������� (�� �������� ����� �������������� � ������� ����������� �����),

- ���������, ������������� ����� ���������� (��������, ������� ������).

������� �������� "������������� ��������" (���������� ��������� ������, ��� ����������� �����, �� ������, ��� ���������) ���������� �� ���� (��������� �� ������ 2.4). ������� �.������ �����������, ��� ����� �������� ������ �� ����������. ��� ������������� ������� �������� ���������-���������: ������ ����������� ��������� ����� �� ������ ���� �������� �������, ���� ������������ ����� ����������.

����� ��� �������� �.������, ������� �������� ��� ��������. ���������-�������� - ���� �� ����� �������� ������� �� ���� ���������� - �� ���� ����� ��������� ������ ���������. ������ �� �� ������� �� �.�������, �� �������������� ��� ��������������.

� 1895 �. �.�������, ����������� ������������ ��������� �������� ���������-��������, ��������� ��� ���� ���� - �� ������������ � ����� ������ ��������... ������������! �� ���� �� �������� � ������ �.���������. � 1897 �. ��� ���� ������������ ������������ (� ���������� ���������) ����������� ��������� �.������-�����...

����� ������������� �������� ������ ������� ������ �������� �� ������ �.�.��������� [1965,1982] ������ ������ �����������, ��� ��� ������ �������� ������������ ����������� �������� ���������� XIX �.: � ������������ ������� � ������������ ����������� ��������� �������� �� ����������� ����� �������� ��������������� ��������, ����������� ��� ����� ����������� �������. � ��� ������������ ������������ ����� �� �����������.

 

2.2. ������������ �������������� ������ ��������

������ �� ����� ���������� ������������� ������ �������� � ��� ����, � ����� ��� ���� ������� �.��������. � ������ ���� ������ �������� ����������� ������������� � "���� ��������", � ������� ��� ��������� (� ��������, � �����������) ���������� ������������ � � "������� ����". � ����� �������� ������ �������� �� ����� �������� ������, ��������������� ���� ��������� "��� ��������".

��� � ����� ������ ���������, ������, ����� ������: �������� �� ���, ��������� ������ �� ��������? ��������� ����� �������� �� ���������-��������. �� ��� ����� ����� � ��������� ���� "�����"? �.�. ���� x2 - ������� ��������� x1 , � x3 - ������� x2 , x4 - ������� x3 � �.�., �� ������� � ���� ���� ������� �� �������� ���-�� ����� "���������" �� ��������� � �����������, ���������� �� ��������? ��� ������� � 1925 �. ��.��� ������, ������ �������� ������ ����� �������� ��� �������� "���������" ��������. � ����� ����, ���� �� "� ���� �������� ������ �� ����", �� ���� ��� ����������� �� ����� ������ ���������, � ��� ��� ���-���. ��������� ��� "���-���" ����� 0. ����� �� ����� ���������� ��� ���� ���������, ��������� �� ������ �������� 0, �.�. ��������� {0}. ��������� ����� ����� ���� ����������� ��������� �� ���� ���������: {0,{0}}, � �. �.:

x0 =0, x1 ={0}, x2 ={0,{0}},..., xn+1 = xn U{ xn },...

����� �������, ���� �����������, ��� "������ ���", �� �������� ���������� ����� ��������, �.�. ���� � ������ "����� ��������" �������� ������ ���������, ��� ��� �� �������� ����� �� ������������ (��. �.������ [1977]).

������ �� ����� ���������� ���� ������ ��������. ����������� ����� �������, ��� ������, x,y,z,... - � ��������� ��� ��� ���. ���������� ���������� (����������) ����� ������� ������������ ��������� (��������� � "���� ��������" ���������� ������ ���������).

��������� (��������, 0 ��� ����������� ������� ���������) �� ������� �� ������. ������� ������, ��� ��� ��� ����� ��������. ���������� ����������, ������, ������ ������ ����������� ������ " in " ("�����������") - � ���������� � ������ ��� ���� ������ ������� "=". � ���������� �������� ��������� ������� ���� �����: x in y ("x ����������� y" ��� "x �������� ��������� ��������� y") � x=y ("x,y - ���� � �� �� ���������"). ��������� ������� ����� ��������� � ������� ���������� ������ � ���������, �������� ������� ������ ��������. ��������, ������� (Ay)~(y in x) ����������, ��� x ���� ������ ���������, � �������

(Ey)(Az)(z in x <-> z=y)

- ��� x �������� ������������ �������.

��� � ������ ��������� ���������� ������, ������ �������� ��������� ���������� ������� � ������� ������ (������������ ������). �������� � ����������� �������� ������ ��������, �� ������ ������ ����� ���������� ������������� ��� ���� ������ ������� ���������: "��� ��������� �����, ���� ��� ������� �� ����� � ��� �� ���������". �������� �� ��������� ������������� ��� ����������� ������� ����������� �������. �� ���������� ������ ��� �� ���������. �� ���������� ������ ����� ������� (���������), ���

x=y -> (Az)(z in x <-> z in y).

��� �����������: ���� x ����� y, �� ���, ��� ����� ������� �� x, ����� ������� � �� y. ������ ���� ��������� x,y ���������� ��-������� � ���� ����� ��������� ������ �� ������ ����������, ��� (Az)(z in x <-> z in y), �� ������ �������� x=y ���� ��� ������������� ��� ������ �������� ������� ���������. ������ ����������� � ������� " in ", ��� �� ����������� ��� ������� �������������� �������. ������ ������� �� � ������ ������ ����������� �������:

(AxAy)((Az)(z in x <-> z in y)-> x=y). (Z1)

��� ��� ���������� ������� ������������������. ��� � ���������� ������������� ��������� ��������� � ������ �������� (������ "������������������" �������� ������������� �� ����������� ���� �����������).

��� ���� �������� ���������� ������ � ������ ������ (��, ��� �� ������� �� � "���� ��������") ����������� ������������� �� ������� ���� ������ ���������: ���������� ���������� ������ �������� ������� (Ex)x=x. ����� ������ ������������ ������������� ���������� ��������� x, ��� �����-���� �������������� �������. ����� �������� ���������, ���������� ����������� ����������, ����� ����������� �������.

�.������ ����� � ���� �����: "��������� - ��� ������, �������� ���� ��� ������". �� ����� ������� ������ ����� ������� ��� ������? ������ ����� ������������� ������� ����, ��� ������ � ������. ��� � ����� ��� ������, ��� ����� ������� ������ ������. �����������, ���������� ����� ������, ������ ����� � ����������, �������� K={x | K(x)}, ��� K - �������� "���� ����������". �� ����� ������ ������� ��������, ��� K - "��������� ���� ����������", � ���������� � ��� ��� � ������ ��������.

�������� ��������� ������ ����� (������ ������, ��������� ��������� ������� � ������������ ����������) � ����� ���������� ������� ���������� ��� ���� ����������� ������� � ������. �� ����������� ��� ����� ������� �������-����� ������������� � ���� ��� ���������� ����� ������ �����������. ����� F(y) - ������� �� ����� ������ �������� (����� ���������� y ��� ����� ��������� � ������ ��������� ����������, ����� �� ����� ������� �� �����������). �� F(y) ����� �������� ��� �� �����������: "��������� y �������� ��������� F". ������ ������� �������-�����, ��� ��������� y, ���������� ��������� F, ����� ���������� � ������ ��������� x={y | F(y)}. ����� �������, �� ��������� ����� ������

(Ex)(Ay)(y in x <-> F(y)) (Z2{F})

(��������������, ��� ������� F �� �������� x). ��� ���������� ������� F ���������� ���������� ������� �����������.

� ���������, ������� Z2{~(y=y)} ������������ ������������� ������� ���������:

(Ex)(Ay)(y in x <-> ~(y=y)).

����, ��� x ����� - ������ ���������: (Ay)~(y in x).

���������� 2.3. �������� �� ����� ����������� ������������� ������ ��������: {0}, {0, {0}}.

��� ������������ ��������������� ����������� ������ �������� ��� �� ������� ��� ������ ���������� ������� ������. ������ �� �� ����� ���� �� ���������, ��� ��� ��� �������, ������� ������� ���� �� ��� ���..., �������� � ������������!

� 1902 �., ����� �.����� ��� ������ ���������� �������, ������������, ���� �����, ���������� ��� ���������� ������� ����������, �� ������� ������ �� ����������� �������� �.�������, �������, ������������� � ������ �����, ���������, ��� ��������, �������� � ������� �����, ����� ������ �������� � ������������. � ����� �������� ����������� �.������� ��������� �� ���. ��������� ��������� �� �������� ���������� ����� ����, ������, ��������, ������ ���������: ~(0 in 0). ���������� ��������� ���� ����� ��������, ������������ �������� ������� ����������� Z2{~(y in y)}:

(Ex)(Ay)(y in x <-> ~(y in y)).

� ���������, ������� y=x:

(Ex)(x in x <-> ~(x in x)),

�.�. ���������� ��������� x, ��� �������� �������� � ������������ � ������������� x in x, � ������������� ~(x in x). ��� �������� �� ���� �������� �������. ��� �� �������, ���������, ��� ��������� �� ������ ����������� �������� � �������������. ��� ������, ��� � ����� ����� ���� ����� ����������� �� ����� ������� ������� ������ ��������.

���������. ����� ������ �.������� � �.����� ��. � ����� �.�.�������� [1985]. ��� �� �.������� � 1895 �. ������������ � ����� ������ �������� ��������� �.������. � 1897 �. ��� ���� �������� ������ �������� ��������� � ����������� �.������- �����. �� ����������� ���� ����������� ������� ����������� �.������� (��. ������ 2.4). (��������� �� ������� �������� ���������� � ������ �������� ��. ����� �.�.��������� [1965]. )

�������, ����� 100 ��� ������, �������� ���������� ��� �� ������� ���-�� ����������������. �� ����� ����������� ��� ������ ���� ���������� (� ���������) �� �.�����, �.������� � �.���������, ������� �������� � �������������� ������������ �������� ����������� ��� � 70-� ��. XIX �. � ������� � ���� ����� ����� 20 ���! �.����� ���� ���������� ������� ����������, � �.������ - ���� ������ �������� ������� ������� ����� ���� �����. ���� �������� ����� �������: ����� 1902 �. ��� �� ������������ �� ����� ������, �������-������ ��������� � �� ����������� �������� ����������� �������. ����� ����� �� ��������� ��� ��� �� �����. ����� ����� ���������� ���������� ���������.