6.1. ���������������� �������� ������ � ���������
������� �� ������ � ��������� �������� ������� ����� � �������������� ������������� "������, �����������, ���������������, ������������� ��������" ��� ����� ���������� �������, � ������������� ��������� ������������� ���������� ������� "��� ��������� �������������� ����������". � ���� ����� ���� �� �����������, ���� �� ��������� "�������������" �� ���������� ��� ����������� "����������� ��������" ����������� �������� ������, ������� ������ �������� � �������� ���������� ������. ���������� �������� ����� ������ ������ ������ ��������� �������.
������� ����� ���������� ������ T, ������� �������� ����������� ������� ������������ ����� (�.�. ��������������� ������, �� ����� ������������). ������� ������ GT, ����������� ��� ������ T, ����������: "� ����������� � T". � �.������ �������, ��� ��� ������������� ����������� � T. ����� �������, �.������ ���� ���������� ���������� ������� GT (������� - ��� ������� �� ����� EA - �������� ����� ������������ � ��������� ����������� �����). ��� ������, ��� ����� �� ���������� ������ T �� �� �����, �.������ � ������� ������ "����������� ��������" ������� ��� ���������� ���������� ����������� GT � ��������� ����������� �����, ������� ������ �������� � ������ T. ����� �������, ������� ���������� ������ �� � ��������� �������� � ���� "�����, ������������" ������� � ���� ����������� ����� (�� ������ ��� �� ��������� "���������� �������������� ����������"). ��� ������ ���������� ������ T �������������, "���������� �����" ����������� ������� ������ GT, ��������� �� ������� ���� ������.
��, ��� �� ������ � ������� ������ � ���������� ��������, ������ ��������� ��� ���-��� � ���� ����������� ������������. �.������ ���� ��������, ��� ������� GT ����������� � ������ T, ������ �����������, ��� ��� ������ ���������������. �.�. �� ������� ���������� G �� ������������� ������������������ T. ����� � ���� �� �����: ���� �������� ���������� GT, �� ��� ����� �������� ������������������ ������ T (���������� GT ��������, ��� ��� ������� ����������� � T, �������������� �� � T ���� �� ����� ������� �������� ������������������ T). ����� �������, �� ���� ������ � ���������������� ��� ������������������ ������ T, �� �� ����� ������ ������� � �� ���������� ��� �������� ������� G . ��� �� ����� ���������� � ������� � ������������������ ��, ��� ������� GT ����������� ��������� �������, ������������ � T?
��-������, ��� �� ����� ��������, ��� ������ ���������� ������ ���������������. ������������� ������ �������������� ������ �������� �����: ������� � ������ EA ������� 0=1. ��� ��� � EA ��������� ������� ~(0=1), �� ���������� ������ �������������. ������ � ������ ���� �������������� ��������� ���� ��� ������ ���������. ����� �������� ���������� ���������� � ���������� �����: �� ���������� ���������, ������� �� ������� ������ � ������ ������ ��������� ��, ������������� �� ��������������� ���������� ������.
���������� 6.1. �����������, ��� ������ EA ���������������, �������� (��. ������ 6.3), ��� ���������� ��������, ������������ �� ��������� ������� F, ������������� ������ EA+F ��� ���. (������ EA+F �������� �������������� � EA ������� F � �������� �������.)
����� �������, �������� ������������������ ������ �� ����� �������� �����������, ����� � ��� �� ������� �� ���� �������. ������ ������ ������� � ���� ������� ����������� �������.
�������, ������� ��������� � �������, ������� � ���� ����� �� ��������� ������� �����������������, �� ������� ������� ��������� ��� �� ���������������. ����� ������ �������� ������ � ������� ���������� ������� ����������, ������������� ��� � ������� ���� �.�����. � 1902 �., ����� ������, ����������� ��� ����� � ���������� ������� �.����� ��������� ��� � ������, �.������ ���������, ��� ��� ������� �������� ������������. �.����� ������ �� 1925 �., �� ��������� ����� ������ �� ����������� - ����� �������� ���� ����� �������� ������� �� ���������� ����������� ������ � ������������� �������� ������� ��� �������. (�������, ������, ��������, ��� �.����� ��� ������ ���� ���� ��� ����� ��� ����������. ���������� � ���������� ��� ������� ���������� �� ������� ����������������� ��������, �� �������� � ��������� �������, ����� �� ����������� ���������� ����������, ��� �� ������ �.�����. � ���� ������ �.����� ������ �� ���� ����, "�������������" ����� ��������������� ��������������� ������ ��������.)
����������� ������ ������ ����� �� ������ �������� ������ ������������ �������� ���������� XIX �. - ������ �������� �.�������. ��� �� ��� ������� �.�����, ������ �.������� ���������� ��� ���������� � �� �������� ����������� ���������� ���������� � �����������������. �������, ��� �� ����� ���� ����� ���������. �������� ��������������� �������� �������� � �.������� �� ����������� ����� - ������� ������������� ������������ ���������. � ��� �� ����� � 1895 �. �.������ ��� ������������, ��� �� ��� ��������� ����� ������� ������������...
�� ������ �.����� � �.������� ���������� ������ ���������� ����������� �����������������. ������������ � ��� ���� �� �������. ��� �� ����� ������� ���� ���� ������� ���������� ������ ��� ������� ��� �� ������� ���� ������: ������� ���� "���������� �����������" � ���������� �������� ������� ������ (������� �� ����� �� ��������� ��� �����������) �� ����� ���� ���������� ��������� �� ������������.
��������� ������� ������� �� ���������� �����������, ����������� � �������� "�����", ������������ � �����-���� ���������� ������, ��������� � �������� ������� � ������������������ ���� ������, �� �� � ����� ����� ������, ����������� ��������� "������", ��������� �� ������� ����� �������� ���������� ������, ���� ���� �� �����. ����� ������, ������� �� ���������� "���������", �������� ��������������? ����� ������� ������, ����������� ��� ���� ������, �������� ������. ����� �� ��� "������������� ������"?
�������, �������� ���� ��������� ����������� ����� ������ ����������� � ��������� "����������":
�) ����� "��������� ����� ������" ���������� ������ T, ����� �������� ���������� ������� GT.
�) ����� �������� ���������� GT, ����� �������� ������������������ ������ T.
�) ����� �������� ������������������ T, ����� ��������� ��������, ��������� �� ������� ���� ������ (������ ������� ������).
� ����� �����: ����� "��������� ����� ������" ���������� ������,... ����� ��������� ��������, ��������� �� ������� ���� ������. ����� ������������... ����������!
������ �� � ��������� �������� ������������������ �����- ���� ������, �� ������ ����������, ��� "�� ����� ����" ��� ��� � ����, �� ����� ���������� ������� ����������� � ������������������ � �������� ����� �������. � ������� ���������, ���������� ������. ����� ������ �� �������� ���-�� ��������� ��� ���������� (� ������ ����� ��������� ��������� �������� ������, � ������ �������� - ��������� ���������-�������� ������� � �.�.). �������, ������, ��� ����� ��� ����� ��������� � ���������. ����� �� ��������� ������� ������� � ����������� � ������������������ ������, � ���������� ������� �� �������. ����� ������ ������� �� ����: �������� �������� � �������� ������� - ��� ��������������, �.�. �������� ��� ����������� �� �� ���������. � ���� �������� ��������� �� �������� ����� ���� ���������� ������������, � ����� �������� �������� ����������.
�� ����� ���������� ����� ������� �����, ��� ������� � ��������� �� ���� �������� ������ ������, ������������ ����������� (� ������ �������) �������� ������, ������������ � �������� ���������� ������. �, ��-��������, ������ ������ ������ ������ �� ����������: ��������� ������ ��������� ������, ��� "�������������" �� �������� ���������� ��������� ��� ������ �� ��� ���������.
���������������� �������� ������ � ��������� ����������� ������ � ������. ������ ��������������� ������ ���� �������������, ���� ������������ ��� ������� ��������� ����������� � ��� �������. �� ��� �����, ��� ������ �.������ � ��� �������������� �� ���� �������, ����������� ������, �������� �� ���������� ������ �������������� ��� ��������. ������� ������ ���� �� ������� �� "������� � ���������", � "������� � ��������������". ������ ��������������� ������ ������������ - ��� ���� �������������, ���� ������������ ��� ������� ��������� ����������� � ��� �������.
������������� ������ ���������� ����������������. ��������� ������������ ������ ����������� ����� ����������������� ������ ������. ��������, �������������� ������� � ������ ������ �������� (��� �������������), ������� ������, ��������� ��������� �������� � �������� �������������� ������ (�.�. �� ������ ������, � ����� �� �� ������ ����������� ������������� �������� �����, � ������ ������� �������� ����� "��������" ������, ��������� �� ����� ������ ������).
������ ���������� ������ � ���������������� ����� ������ �������� ������� ��������� ��������� ������� ��������. � ������ ����� �������� ����� �� ������ � ��������� ����� ����������������� ���: ������ ���������� ������������� (���������������?), �� ��������� ������� �������� ��������� ����������� ������������� - � ��� ���������� ���� ������������, ���� ��������, ��� ������� ������� ������ (���������!) ������� ������������. ������ � ������� �������������� ��������������� �������������� ������ ��������� ������� �������� ������� ��������� �������������� ����� ���������� ������. (������ ������ �� �������, ��� ����������� ������� �������� ����� ������������ � �������� �������������� ������.)
���������. ������ ������ ������������ ��� ������������ ��������� ������, ���������� ���������. ����� ����� ������ ����� ����������. �������� ������ �� ������������� ���������� �� ������. ������ - ��� ���������� ������������ ������� �������� (� ���������� ������ - ������ ��������� ������������, �.�. ���������, ������� ��������), � �� ������ ������������ ����������� (������), ������� ����� �������� � ������� ������� ������ �������, ��� �������� � ���� ��� ��������. �������� �������� �.���������� � ��������� �������� �.����������� - ��������� ������, ���� ��������, ��� �� ����� ����������� ��� ���������. � ���������� ����������� ����� ������ (�������� ������ � ��������� �� ������), �������������� ������ ������� "������" (� ��� ��������� ��� ������� ��� �������, �.�. ����� ������ ��� ����� �� ������ �������� ����� ������� � �����). ������, ����, ������������� ������� ������, ������������ (������������� ����) ������� ���������, �� ������� ��� ���� ���������������� "�������"? ���� �������� �� ������ ��������� - ��� �� ������� ��������, ������������ �������������� ��� �� ��� "�������", � ��� �������������� ������ ������. ������������� ������� ������ ������������������.
6.2. ������� � ������� ���������
�������������� ������� �.������� RT, ����������� ��� ������ T, ����� ���� ��������, ����������� ������ ������������������ T. � ��������� ����������� �.������� �������� � ������ ������ EA. ��� ������, ��� �������������� �������������� ������� RT ����� ������������� � ������ EA+Con(T) (�.�. � ������, ���������� �������������� � EA �������� � ������������������ T). ������, � ������� ������� ��������� �������� ������ ������, ������� �������� �����������. ����, �������������� RT ����� �������� � ���������� EA+Con(T). ��������, � ���� ���������� ����� �������� �������������� (���������� ������ T) � ������ ������ ������. �� ����� �� ���������, ������, ��� �������������� ��������� ������ ����������� � EA+Con(T) (�.�. ��� ������������ �� �������������� ������������ ������������ ������ ������������������ ������ T)?
����� �� ���� ������ ����� �������� ����� ������������� ��������� ��������� ���� (��. ������ 5.1):
q: q ����� ��� q �����������.
��� ��� ��������� ������������ (q �������, q �����, q �����������) �������� � ������������. ���� ������ T ����������� � ���������� M, �� ����� ���������� �������� ������� H, ������� ���������� ��: "H ����������� � T ��� � M ��������� T-�������������� H". ��� ������������� ����� �������, � ���������� ���������� ������ ("�����������") ������� ������� � ������� ���������: ���� ������ T, M w-���������������, �� ������� H ����������� � ������ T, ������ ���� ���� ������ �������� � ���������� M (��. �.�.�������� [1975]). ������ � �������� - "������� � ������� ���������".
���� �� ������� ����� ��������� ("������������") ������� ���� ������� (�.�.�������� [1976]). ������� ������� ����� ��������� "M - ���������� ��� T". ����� T, M - ��������������� ������. ����� (NT , piT ), (NM , piM ) ����� ���������� ������������� ������������� ������ EA � ������� T, M ��������������. ����� ��������, ��� M - ���������� ��� T, ���� ������������� ������� PRT(x), RFT(x) �� ����� EA �����, ��� ��� ����� ������� F (�� ����� EA):
�) ���� T|- piT(F), �� M|- piM(PRT(F)),
�) ���� T|- piT(~F), �� M|- piM(RFT(F)).
����� �������, ������ M "����� ���-���" �� �������������� ������������, ������� ��������� ��� ����������� � ������ T. ����� �� ������������ ������ ��������� piT, piM, �� ����� ����� ������ ������ T|-F, T|- ~F, M|- PRT(F), M|- RFT(F) ������ T|- piT(F), M|- piM(PRT(F)) � �.�. ����� ��������� ������ ���������, ���� �� ������������ ������ ��������������� �������������, ������� ��������� � ������� T, M.
������� � ������� ���������. ����� T, M - ��������������� ������, ������ M - ���������� ��� T. ����� �������� ��������� ������� H �� ����� EA, �����, ��� ���� ������ T, M ���������������, �� H ����������� � T, ������ � M ������ �������� �� ~PRT(H), �� ~RFT(H) (�.�. � ���������� M ������ �������� �� T-��������������, �� T-���������������� ������� H).
� � � � � � � � � � � � � �. ������� ������, ������� ����������� ��� �������������� ������� ������ T, M:
(A0, T) (A1, M) (A2, M) (A3, T)...
��������� ���� (Ai, T) �������� T|- Ai , � ��������� ���� (Ai , M) - M|- Ai . ����� ������������� ������ ����������, ��������� ��������� ���� ������ ������ ���������� ������ ���������� �����������. ���� ���� - �������� ������� H �����, ��� �� ���� �� ��������� ������� ������������ ����������:
T|-H, T|- ~H, M|- ~PRT(H), M|- ~RFT(H). (1)
������� ����� �������� ������� Q �� ����� EA ����������, ���� � ��������� ������������ ������ ���������� ���� (Q, T) ��� (~RFT(Q), M), � ���������� - ���� ������ ���������� (~Q, T) ��� (~PRT(Q), M). (������� H, ������� �� ����, �� ������ ���� �� ����������, �� ����������.) ����� (� ������������) ������ ����������� ���� ����� �������� (���������� ��� ����������) ������� ������� Q. ��������, ��������� ��������� ���������:
a(x,y) = "y ���� ���������� ����� ������� � ������� x",
b(x,y) = "y ���� ���������� ����� ������� � ������� x".
����� ������� A(x, y), B(x, y) �������� ��� ��������� � ������ EA.
������ ������ �������, ������� ������ �������
(Ay)(A(x,y) -> (Ez<y)B(x,z))
� �������� ����� �� �����������. � ���������� ��������� ��������� ������� H, ���������� ����������
EA|- H <-> (Ay)(A(H,y) -> (Ez<y)B(H,z)).
("���� � ���������, �� � ���������, ������ � ������� �������".)
���������� 6.2. ������ �������������� ������� ������� (��. ������ 5.3), ��������, ��� ����������� (1) ������������ � ������������������� ������ T, M.
������� � ������� ��������� ��������.
���� ����� M=EA+Con(T), �.�. ���� ��������� ������ T ���������� EA, ����������� ������������������ T, �� �����������, ��� ���������� �������, �������������� ������� ������ �������� ������ ������ �� ����� �������������. ��� �������������� �������������� ����� ������ (���� ��� �������� �� ������� � ������� ���������) ����� ������������ Con(EA+Con(T)), �.�. ������������������ ����� ����������. ��� ����� �� ������, ���������������� � ������ �������.
�������� ������� ��������� ������� � ������ ������ �������� �������������� ������. ���� � ������ T �� ������� ����������� F �� ��������, �� ������������, �� ����� ���������� ������� F (��� ~F) � �������� ����� �������. ������ ����� ����� ������ � ������������ ����������: �� ���������, ��� � ������� ����������� F ����� �������� (����� ������ T+~F �������� ��������������) ��� ������������ (����� �������������� �������� ������ T+F). �� �� ���� ��� ��� ���������, ������ ������� ����� � ���������. �������� ��, �������� F � �������� ����� �������, "�����������" ���� �� ��������� ������������. ��� ��� �������? ����� �������� ������������������ ����� ������ T+F. ������ �� ������ ������� ������ �� �����, ��� ���������� �������������� ������������������ ��������������� ������ ���������� (��� ������ �������������� ����� ��������, ��������� �� ����� ����� ������, �.�. ��������, ����� ��������, ��� ���� ������). ����� �������, ���������� �������� �� ������������ ����������. �� �� ����� ���������� �������� �������� ������������� - ��������, ��� �������� ����� ������� �� ��������� ����� ������������ (����� ���, �������, ��������, ��� ���������� � "������" ������ T). ����� ������ �������������� ����� ���� ��������, ��� ������� ��������� � ������ ������ T, ����������� ������ �� ������������������. �.�. ���� ���� � �������������� ������������������ ������ T+F ���������� ���������� T+Con(T). ���� ��� �������, ��, ��������� ������������, ���������� �� �������� ����� ������� F, �� ������ ������������� ����� ����� ������������ � ����� ������������, �� ��������� �� F, � ����� ������������ ���������� ������ T (������� ������ ������������� ��������). ����� �������, ���� ������������������ ������ T+F �������� � ���������� T+Con(T), �� ��� ����� ��������, ��� �������� F � �������� ������� ����� �� "���������", ��� �������� ������ ������ T.
��� ����� ������ � �������� �������������� ������, ����������� �������� ���� �������� � ������ XIX �. - � ������������ ������������ ���������. ������ �� � ��������� ������ ������ �� ���������� ����������� F �� ������ �������������� ������, �� �������� ��������, ��� �������� F (��� ~F) ����� �� "���������", ��� �������� �������������� ������. � ����� ������������ F (��� ~F) � ���� ��������. (�������, ��� ����� ���������� ����������� ��������� � �������� ������ - ����� ������� ��� ������ T+F, ��� � T+~F, ��. ������ 2.4.)
������ ��������, ��� ������������ ������ �������� �������������� ������ - ����� ��� ����� ��������� ��� ���������� ������ ������. ������� � ��������� �������� �������������� ��������������� ����� ������� - ��������� �������� ��������� �� ������ ���� ������, ��������� � ������ ������������ ������. ��� ���������� ����� ������� �� ��� �� ������� ������ ������ ���������������� - � ���� ����������� ��������� ����� �������, ���� �������������� ���� ����� (����������, �� ������, � ������� - ������� �� ����� ������ ��������� ���������). ���������� ����� ������ ���������� ������ "������������" �� ������������ - ������� F ����������� �������, ���� ���������� ���������� T+Con(T) �������� ������������������ ������ T+F. ����� �������, �������� ������� "���������� ������", ����� ������ ��������� ������� "���������� ������������".
������� � ������� ��������� ���������� ��������������� � ����� �������� (�� ����������� �������� ���������� ������, �� ��� �� �� �������� ��������� �����������). � ����� ����, ������� M=T+Con(T), �� �������� ������� H, ������� ����������� � ������ T, ������ ���������� ������ M ������ �������� �� ~PRT(H) (������������������ ������ T+~H), �� ~RFT(H) (������������������ ������ T+H). ������� ������������������� (AD, ��. ������ 2.4) ��������, ��������, �������� �������, "������������" �������� �������, �.�.
Con(ZF) -> Con(ZF+AD),
�������� ������� �� �������.
��������� ��������, ��� ������� "������� ���������" ��������� ��� � 1926 �. �.���� (��. �.���� [1926]).
6.3. �������� ���������� � ����������
��� �������������� ������� ��������� �� �������������� ������ ������. ������ ������� �� ����� ������, ��� � ���������� �� ����� ��������� ������ ������, ���� ��� ����� �� ���� � ��������. ����, � �������� �������� ���������� �� ����� ��������� "������ ������"?
��� ���������� � ������ ���� ������������? ���� ����� ������� ����� ���������, ������� ����������� � �������� �������� ������ (� �� �������� �� ���� ���������), �� ������������� - ������������� ������ �������������� ������ �������� ������ ��������� ������� �������� ���������. ����� �������� ��������� �������� � ����� ������. ������ ���� ����� �������� ��� ����, �� "����������" ����������� ������ ���������� �����������.
��, ����� ����, ����� ����� ����������, ��� � ���������� �� ����� ���� ������ ������, ��������� ���������� - "������������" �����, � ������� ������� � ������� ������, � �� "����� �������" ����������, ��� � ��� ������?
�� ��� �����, ��� ��������� ���� ������ ���������� ������ �������� ���������� ������������ - ��� � �������� ����������� ������������ ���������� (������ ��������), ���������� �� ����������� ����� ��� �������:
F0 , F1 , F2 , F3 ,...
���� ��������� ���������� ����� ����� ���� �����, ����� ��������� ����� ������� �������� ������� (���� �� ������� �������, ��� ������� ������������� ��������� � ������ ������). ��� ������, �������� ��, ��������� � ������������ ����������...
�� ���� ������� ������ ��� ����������, �� ��������� ��������� ������������� F � ����� ������, ������� �� ��� (��������� � ������ ������ T)? �.�. ��� ����������, ����� �� T|-F ��� T|- ~F. ����� ��������� ������������� ���������� ���� ��� ����� ������: �� ������ � ��������� �� �����, ��� �������� ��������, ����� �� T|-F, �� T|- ~F (������� F ����������� � ������ T). � ���� ������ �� ����� ��������� � ����� ������� ������ �����, �� �� ������� F, �� ~F ���������� �� ����� - ������� ������ �� ������ �� �� �������.
������ ������, ���������� ����� ���� �� ������� ����������� �� ������ T, ���� �� ������� "��������������" ���������� ������ ���� �����:
�) ���������� � T,
�) ������������ � T,
�) ������������ � T.
����������, ���� ������ T �������������, �� � ��� ��������� ����� �������, � ������ �), �) � ���� ������ ���������, � ����� �) ����������� ������. ���� ������������ � T ������������� ������� (������� ������� A �����, ��� T|-A � T|- ~A ������������), �� �� ������� ���������� ������������ ~A->(A->B) ����� ��� ��� ������ ������ �������� ������������ ������� B. ����� �������, ����� ���� ��� ������������ � ������ T �������, � ������������ ���� ������ ��������� ������ ���������� ������, ��� ������� ��� ����� "��������������". (������, ���� ���������� ������������ � ��������� ������ ������ ������ ��������� ���������� ����� - ��., ��������, ������ 2.2.)
������ �������, ��� �������� "�����������" ���������� ������� �)-�) ����� ��������� ������ � ����� ����������, ������� �������� �������� ������������������ ������ T (��� ��� ������������������ �����������). ��� �� � ����� ���������.
����, ����� T - ��������������� ���������� ������. ����������� ������������������ T, �������, ��� ����� �) ����������-��������� (��. ������) �� ������ �). ������ ����� ���������, ��� "�����������" ���������� ������� �)-�) ���������� (�, � ���������, ��� ������ �),�), ������� ���������� �������������, �� ��������, ��� �� �����, �����������, � ����� �) �� �������� ���� ���������� ������������).
�������� �� ����������, ��� ������ �),�) ���������� ��������. ����� ���������� ���������� �������� s(x) (x ��������� ����������� �����), �����, ��� ��� ������ n, ����������� ������� ������� � ����� EA,
1) ���� s(n), �� ������� ������� � ������� n ������ ������������ � ������ T (�.�. ���� ������� �� ����������� ������ �)).
2) ���� �� s(n), �� ������� ������� � ������� n ������ �������� � T (�.�. ���� ������� �� ����������� ������ �)).
����� �������, �������� s(x) �������� ��������� pi-1(�) �� pi-1(�). ����� ���������� ��������� s(x) ������������ ������� �������� M. ����� C(x, t), D(x, t) ��������� �������, ���������� � ������ EA ����������� ���������:
"������ M, ������� � ���������� x, ��������������� ����� �� t ����� � ������ ��������� "�������",
"������ M, ������� � ���������� x, ��������������� ����� �� t ����� � ������ ��������� "�����".
��������� ���� ����������� �������, �� ����� �� ����������� ����� �������� ������� E �����, ���
EA|- E <-> (At)(C(E, t) -> (Ez<t)D(E, z)).
���������� 6.3. ������ �������������� ������� ������� (��. ������ 5.3), ��������, ��� ���� s(E) �������, �� EA|- ~E, � ���� -s(E) �����, �� EA|-E.
����� �������, �������� s(E) �� ����� ���� �� ��������, �� ������ (��� ������������� �������� � ������������). ������ ��������, ��� ���������, ���������� T-���������� ������� �� T-������������ ������, �� ����� ���� �����������. � ���������, �� ����� ���� ���� � "�����������" ���������� ������� �)-�).
����, ������� � ��������������� ������ T, �� �������� ��������� F � ����� ������, ����� �� T|-F ��� T|- ~F (���, ���� �����, F ����������� ���������� T), �� �� ������ ������ �� ���������� ����������� ����� ��������, ������� ������ �� ����������, ������������ ��� ������������ � ������ T. ������ ������, ���������� ��� ������� ������������ ����� ��������, ��� �� ������ ��� ��������, �� ����������. �� � ���������� ������ � �������� (��� ������� ������������� ������ ������) ������� ������ ���������� ����������. �������� ����������� �������� H1, ������� ������ �� ���������� � ������ T, �� �� ����� � ������������ ������������, ��� ���� ����� ���� ����� ���������� ��� ������� ������� �� ���������� ������ �������� H2 � �.�.
(��� ����� ����� ����� "��������� ����������" ������������� ���� � ������������� ������������������ ������ T. �� ���� T "�� ����� ����" ������������� - � �� �� ���� �� �����, ��� ��������� ��������� ����� ���������� ��� - ����� ��� ������������. ���� �� ���������� 6.1 �� �����, ��� �� ���������� ������ ������, ������� ��������� �� �� �������� ����� ������, ������������� ��� ��� ���. ����, ��� ���������� �� �������� � � ���� ������.)
����� �������, �� �����, ����� �������, ���������������� ������ (�� ������ ���������� ������, ���������� �������� �������������� ������, ������� - ������ - ���� ��������� �������� ��������������� ����������) ������������� ���������, ��������� ������ ��������, ���������� ������ ��������� � �������� ����������. � ������: ������� ������������� �����, ������� ������������ "������� ����" �� ���� ����������� ������ ��� �������� ���������� (���� ���� ������� �������� ����������� � ������������). ��� ����� ���������� ����� ��������, ������� ������� ������� ����� ����. � ���� ������ ���������� - ������������� �������� ����.
6.4. ������� � ���������� �������������
����������� �� ������ ����� ��� ����� ��������, ��� ��������� ��������� ������� ����� ���� �������� ����� ������, ���� �������� �� �������� �.������. ��� �������� (���������� ������������ ����������� ����� �����-������� ������) �� �������� �� ��� ��� (���� � ������ ��������� ����������� � ������� ���). ������ �� �������� ����������� �������� �������������� ��������� ������, ������� ����� ���� �������� � ��� ��� (�� ����� ������� �����).
���� �� ������������ � ������ T � �������� ����� ������� �������� H, ������� ����������� � T, �� �������� ����� ������ T+H, ������� "�������" T. � ��� ������ ������������� � ���, ��� � T+H �� ������ ����� ���������� ����� ������� (������������ ����� � T), �� � ���� �� ��� ������, ��� � T �������� � ������, � T+H ���������� �����.
��, ��� ������� � ���� ���������� �������, ������ ��� �� ������� ������� ������������ ����������� ����� �������. ���� ������� ���-�� �������� � ������ T � (����� ������) - � ������ T+H, �� ��� ������ ������� ����������, ��� ��� ������� ������ �������� ����� � � ����� ������ T. ����������� ������� ����������� ���� ���� �.������� � 1936 �.
������� � ���������� �������������. ����� T - ��������������� ������, � ������� ����������� ��������� ������� L. ����� ��� ����� ���������� ������� f(x), ������� ��������� ��������� � �������������, �������� ������� K ������ T �����, ��� lT+L(K) < f(lT(K)).
������������ ���������, ������, � ������������. ��-������, ������� lT+L(K), lT(K) ���������� "�����" ����������� �������������� ������� K �������������� � ������� T+L � T (����� �������� � ������� ����� �������������� ��. ������). ��-������, � ���� ������� f(x). ���� ����� ��������� f(x)=[x/100], �� �� ������� � ���������� ������������� �������� ������� K ������ T �����, ��� lT+L(K ) < lT(K )/100 (��� �������, ��� �������������� ������� L ����������� � T). �.�. ���������� �������������� K � ������ T+L ����� ��� � ��� ��� ������ ����������� �������������� ���� ������� � ������ T. ����� ����� � �������� f(x) ��� ����� �������� �������� �������, �������� [x/1000]], [sqrt(x], [log10 x] � �.�.
������ ����� �������� � ������� ����� ��������������, ������� ������������ � �������. ���� � ���, ��� ��� ������� �������� ������������ ��� ����� ������������ ������� ��������� ����� �������������. ����� ������� ������ ��������� - �� ���������� ��������. �������������� - ��� ��������� ������������������ ������ F0, F1 ,..., Fn , �������������� ������������ ��� ��������. ���� ����� |F| ���������� ����� ��������, ���������� ������� F , ����� ������ �������������� �� ����� �� ���������� i��� ����� |F0|+|F1|+ ... +|Fn|.
������������ ��������� ��� ������� ��������� ����� �������������, ��� ������� ����������� ������������ ������� � ����������, �������� ���������:
�) ����� �������������� ����� ���������, ���� ���� �������������� (�.�. ���������� ��������, ������� �� ������� T-�������������� ��������� ��� �����),
�) ��� ������ ����� t ���������� ������ �������� ����� ������������� ����� <=t, � ��� ��� �������������� ����� ��������, ���� t (�.�. ���������� ��������, ������� �� ����� t ����������� ��� T-�������������� ����� <=t �, ������ ���, "������ �����", ���������, ��� ������ ������������� �� �����).
���������� 6.4. �������� ���������� �������� ���������� ������, ���������, ��� ������ ��������� ����� ������������� "�� ����� ��������" ������������� �������� �),�).
�� ������� ������, ��� ������ "�� ����� ��������", ������ ����� �������, �������� � ����� ������������ �� ��������� �������� ��������� ����� �������������. ��� ������ "���������" �������������� ��� ���������� ����� (����� ����, ��� �������� ��� ������) �� �������� ��������. ��������� ����������� �����������, ������������ ����� ��������������� ��������, �� ������ ��������� �� ���� ����������� � ��� ������ "���������" ������� ������ ���� ���. ��������, ����� ��������� ����� �������� ��������� ����� �������������, ��� ����� �������������� � ������������� ������������� � "���������". �� ��� ��� ������� �������� �� �� �������� ������ �������� ���������� �),�) (����� �� ������ ������� ������������ ��������� ��������� �����). ������� ������� � ���������� ������������� � ������ ���� ����� ��������� � ������ �� ���.
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �. ����� ���������� �� ����������. ����� f(x) - ���������� ������� (��������� ����������� � �������������), �����, ��� ��� ���� ������ K, ���������� � ������ T,
f(lT(K)) <= lT+L(K). (1)
������� ������, ��� � ����� ������ ��������� ���� ������ ������ T+~L ���������. ��� ���� ������ ��� ������������, ��� ��� T+~L - ��������������� ������ (������ � T), ������� �������������� L ���������� T ������������ ������������������ T+~L, � �� ������� 6.3 �� �����, ��� ����� ��������� ���� ������ T+~L ������ ���� ������������.
���� ��������� ������� K ��������� � ������ T+~L, �� �� ������� �������� T |- ~L->K. �������� (1), �������� T
f(lT(~L->K)) <= lT+L(~L->K).
������� ������, ��� ������� ~L->K ������������ � ������ T+L ����� �����. � ����� ����, ����� �������� �� ����, ��� � ���������� ������������ ��������� ������� L->(~L->K) ("�� ������������ ������� ���, ��� ������"):
...
...
L->(~L->K) � ���������� ������������
L ������� ������ T+L
~L->K �� ������� MODUS PONENS
��������, ����� ����� ������ �������� ���������� �������� g(K,L) �� ������ K, L (�������� �), ��. ����), �����
lT+L(~L->K) <= g(K, L).
������
f(lT(~L->K)) <= g(K,L). (2)
����� �������, ���� ������� K ��������� � ������ T+~L, �� T |- ~L->K � ����� ����� (2). ��, ��������� ������ ���������� ������� f, g � ����, ��� f ��������� ��������� � �������������, �� ����� �������� ������ ���������� ������� h(K, L), �����, ��� ���� K ��������� � T+~L, ��
lT(~L->K) <= h(K,L). (3)
���������� 6.5. ��������, ��� ��� ������������� ���. ��� ����������� ������� h?
���� ������� h, ����� ���������� ��������� ����� ��� ������� ������� � ���, ��������� �� ������� K � ������ T+~L, ���� T+~L|-K, �� T|- ~L->K, ������ ����� ����������� �������������� ������������� (3). ��������� h(K, L) � ���������� (�� �������� �)) ��� T-�������������� ����� <=h(K, L). ���� ����� ��� ������� �������������� ������� ~L->K, �� T+~L|-K, ���� ��� - K ����������� � T+~L.
������� � ���������� ������������� ��������.
6.5. ������� ������ � ����������� �����
��� �� �� ���������� ������� ������ � ���������, ��������� ��, ��� ������ ���������� ������������ ��������� ����� ���������� ������������� (��. ������ 4.1)?
����� T - ��������������� ������, ���������� ��� ��� ��������:
"x ���� ����� ������� EA, ������� ������� �������� � T". (1)
��� ���������� ������������ ��������, �����
(Ez1... Ezn )PT(x,z1,..., zn)=0
1 n T 1 n- ��� ���������� ������������� (PT - ������� � ������ ��������������, ����� n ����� �������� �� ������ T). �� ����� �� ����������� �������� ��������� ������� DT , �����, ���
EA|- DT <-> ~(Ez1... Ezn)PT (DT, z1,..., zn)=0.
����, ��� DT - ���������� ������ ������� ������ GT. ��� �� ��� ������� ����?
���� T|- DT, �� ����� DT ������������� ��������� (1) � ���������
PT(DT, z1,..., zn )=0 (2)
������ ����� ������� � ����������� ������. ��������� ���� �� ���� ������� ����� (b1,...,bn), �����
EA|- PT(DT, b1,..., bn)=0
(��������� ���� ���� � �������� ���������, �� ���������� ����������, ��. ���������� 3.5). ������ ��������, ���
EA|- (Ez1... Ezn)PT(DT, z1,..., zn)=0
� T|- ~D . ����� �������, ���� T|-D , �� ������ T ����������� ��������������.
���� �� ������ T ���������������, �� ������� DT ����������� � ��� � ������� ����� DT ��� �� ������������� ��������� (1). ��� ���������, ��������� (2) �� ����� ������� � ����������� ������. ������ �������
~(Ez1... Ezn)PT(DT, z1,..., zn)=0,
������������ ���� ����, ������ ������������ DT, ����������� � ������ T.
����� �������, ���� ��������
������� � ��������� � ����������� �����. ����� T - �����- ���������� ������. ����� ���������� ���������� ��������� QT(z1,..., zn )=0 �����, ��� ���� ������ T ������������� (����� ������ ��������� ����� ������� � ����������� ������), ���� ��������� �� ����� ������� � ����������� ������, ������ �������
~(Ez1... Ezn)QT(z1,..., zn)=0, ������������ ���� ����, ����������� � T.
� ���������, ��������� QEA=0 ������, ���, ����� ��� �������, �� ������ � ������������ � ������ EA, ������ ���� ��� ����������� � ����������� ������, �� ���� ���� ������ ����� �������� ���������� ������ EA. ����� �������, � ������������ ���������� ����� ������ ������ �� ��� �������, ���������� ������������ ����������� ���������.
�� �������������� ��������� QEA=0 ������� �������� � ������ �������� �������-��������. ������, ���� ����� ��������� QZFC=0, �������� ����������: ����� ������� ����� ���������, �� ������ � ������������ � ������ �������-��������: ���� �� ������� �� ����������, ���� ���� ������ ����� �������� ���������� ������ ������ (� ��� ��� ������ ZFC ����������� ��� �������� �����������, ������������ � ����������, ����� ������� ����, ��� �������������� ��������� QZFC=0 ������ �������� ����������, ��������������� ������� � ����������).
����� ��������� ����� ������������ ����������������� ������, ��� ������� ������������ ���� � ���������� �������� ���������, �� ��������� �� ����� ������� ������� ��������������� ����� � ������������� ��������� (��������� ������������ ����� ������ ����������� �.���������: "��� ������ ����� �����, ��� ��������� - ���� ��� ������������"). ���� ����� "��������" �������, ���������� ����������� �����, ��� ������� ����������� ���������, � ��������� ������� ����������� ����������� ������ � ������������ ����� ������� �������. ���������� ���������, ��� ������� ������������ ���� � ������� ���������� ����������� - �������� �������������� ����� ��������� ����� ����� � ������������ ����. �������� �.�������� ������� ������������� ��������� ����� ��������� ����� ����� ������� ������������ ���� (� ���������, ����� ��������� �������������� �������������� ��������� QEA=0). ��� ����� ������������ ������ ��. � ���������� 2.
������� GT, � ������� ������� �.������ ��������� ���� ������� � ���������, �������� ��������� -
EA|- GT <-> ~PRT(GT).
��� ����������: "� ����������� � ������ T", � ���������, ��� ���� ������ T ���������������, �� GT ������������� ����������� � T.
�� �������� � ���� ��������� � 1952 �. �.������ �������� ��������� ������. ����� ������������� �������, ������� (� ����������������� ������� ������) ����������: "� ��������� � ������ T", �.�. �������� ���������
EA|- A <-> PRT(A).
������: ������� A ������������� ��������� � T?
������������� ����� �� ���� ������ ��� ������� � 1955 �. �.�����.
������� ����. ����� T - ��������������� ������, � PRT(x) - ������� �� ����� EA, ��������������� �������� ���������. ����� ��� ����� ������� A, T|-PRT(A)->A ������ T|-A.
� � � � � � � � � � � � � �. �����:
T|- ~A -> ~PRT(A).
����� ������� -
T+~A|- ~PRT(A),
�.�. � ������ T+~A ����� ��������, ��� ������� A ����������� � ������ T. �� ���� A ����������� � T, �� ������ T+~A ��������������� (���� ��� �������������, �� � T ������������� ~A ������ ������������, ��� �������� � ����� ������ ��������������� A). ����� �������, ������ T+~A ���������� ���� ����������� ������������������. �� ������ ������� ������, ��� ��������, ��� T+~A - �������������� ������, �.�. ��� ������� A ��������� � ������ T.
������� ���� ��������.
���������� 6.6. ���������� �������������� �������� ��������� ��������. ������� ����������� �������������� ���������� �� (� ������ ����� ������� ������). ��-������, ���� � ������ T+~A ����������� ������ ������� ������, �� ������ ���� ���������� ������� Con(T+~A), ���������� ������������������ ������. � ���������, ����������� ������ ���������� ������ Con � ����� ������ ���������� - � ��� ������� ������� PRT, �� ��� ������� PRT+~A. �� ����� ���������� ���������� Con(T+~A) ��� ~PRT(~A->0=1)..., �� ����� �������� �������������� ������ ������� ������ (������������� � ������ T+~A). �������� ���: ������������, ��� ���������� ������� L �����, ��� EA|-L<->~PRT(~A->L), � ��������, ��� ����� T|- Con(T+~A)->L. ������ ����� ���������, ��� ���� T+~A|- Con(T+~A), �� T+~A|-L. ��������, ��� ��������� �������� ������������ � ������ T+~A (�������� ������ ����� �������������� ������� ������ � ���������). � �������� ����� ������ ����������: ���� T+~A|- Con(T+~A), �� ������ T+~A �������������. �� ��� �������� ������������� ������� L? ���� ������� F(x, y) ������������ � EA ��������� ������� f: f(B)=~A->B, �� �� ����� �� ����������� �������� ������� L �����, ���
EA|- L <-> (Ey)(~PRT(y)&F(L,y)).
��������� ������������ �������� y, ��������������� ������� F(L, y) - ��� ~A->L, �� �������� �����
T|- L <-> ~PRT(~A->L).
���� ����������� �������������� ������ ������� ������ � ������ ��� �����. ������ ������ � ����� �������������� ������� ���� - ������� �� T+~A|- ~PRT(A) � T+~A|- Con(T+~�) ��� � ��� ������������. ��� ���������� ����� ������� ���������� ��������, ���
T|- PRT(~A->0=1)->PRT(A).
�������� ���. ����� ��� (���������) ������ ��������?