Jebkura notikuma varb�t�ba ir re�ls skaitlis, kas atrodas starp 0 un 1:
0 <= P(A) <= 1.
Tajos gad�jumos, kad lietojama iepriek��j� paragr�f� aprakst�t� varb�t�bu apr��in��anas metode, P(A) izn�k racion�ls skaitlis. �ajos gad�jumos viegli raksturot notikumus, kam P(A)=1 vai P(A)=0. Varb�t�bu 1 var pierakst�t tikai "oblig�tam" notikumam, piem�ram, kauli�a me�anas gad�jum�: "uzkrit�s cipars, kas nep�rsniedz 6". Varb�t�ba 0 pierakst�ma neiesp�jamiem notikumiem, piem�ram, "uzkrit�s cipars 9".
Apl�kosim procesu, kas var dot n vien�di iesp�jamus izn�kumus; pie�emsim, ka m izn�kumos par�d�s notikums A. Tad P(A)=m/n. Bet l�dz�s A varam apl�kot notikumu "ne A" vai "nav A". �is notikums (p�c defin�cijas) par�d�s tie�i tad, kad A nepar�d�s, t�tad n-m izn�kumos no kopskaita n. Simboliski "ne A" pie�emts apz�m�t ar ~A, t�p�c:
P(~A) = (n-m)/n = 1 - m/n = 1 - P(A).
Da�k�rt ~A sauc ar� par A pret�jo notikumu, t�p�c var teikt, ka A pret�j� notikuma varb�t�ba vien�da A varb�t�bas papildin�jumam l�dz skaitlim 1.
Apl�kosim tagad divus notikumus A un B, kuri var par�d�ties vien� un taj� pa�� proces�. No A, B var izveidot divus saliktus notikumus "A vai B", "A un B". Notikums "A vai B" (simboliski pie�emts rakst�t A+B) par�d�s, ja par�d�s vismaz viens no abiem notikumiem (vai abi kop�). "A un B" (simboliski A*B vai vienk�r�i AB) par�d�s, ja A un B par�d�s vienlaic�gi. Ko var teikt par varb�t�b�m P(A+B), P(AB), zinot P(A) un P(B)?
Izr�d�s, ka
P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB).
Pier�d�jums. Pie�emsim, ka procesam, kur� var par�d�ties notikumi A, B, ir vien�di n iesp�jami izn�kumi. Pie�emsim ar�, ka no �iem izn�kumiem notikums A par�d�s k gad�jumos, bet notikums B - t gad�jumos, bez tam, A un B par�d�s vienlaic�gi m gad�jumos (dabiski, m<=k un m<=t). Tas noz�m�, ka
P(A) = k/n, P(B) = t/n, P(AB) = m/n.
Cik gad�jumos par�d�sies A+B (t.i., A vai B)? Varb�t k+t gad�jumos? Diem��l, summ� k+t tie izn�kumi, kuros A un B par�d�s kop�, ieiet divreiz (vienreiz pie k, otrreiz pie t). �o izn�kumu skaits ir m, resp., summa k+t satur m "liekas" vien�bas. T�tad A+B par�d�s k+t-m izn�kumos un
P(A+B) = (k+t-m)/n = k/n + t/n - m/n,
ko ar� vajadz�ja pier�d�t.
�is pier�d�jums k��st uzskat�m�ks, ja situ�ciju att�lo z�m�jum�:
|---------------|-------A--------|--AB----|------------B-------------------|-----------------------|
�eit katrs nogrie��a punkts atbilst vienam no vien�di iesp�jamiem izn�kumiem. Nogrieznis A+AB atbilst izn�kumiem, kuros par�d�s notikums A, bet nogrieznis AB+B atbilst notikumam B. Abu nogrie��u kop�g� da�a atbilst AB. Kas atbilst A+B?
Notikumus A,B sauc par nesavienojamiem, ja tie nekad nepar�d�s kop�. Piem�ram, metot mon�tu, cipars un ��rbonis nevar uzkrist reiz�. Ja A, B ir nesavienojami, tad, protams, P(AB)=0 un t�tad
P(A+B) = P(A) + P(B).
�o p�d�jo vien�d�bu sauc par varb�t�bu saskait��anas likumu: nesavienojamu notikumu summas varb�t�ba vien�da atsevi��o notikumu varb�t�bu summai.
Iepriek��j� sada�� m�s apl�koj�m lod��u vilk�anu no urnas, kur� bija 10 lod�tes (5 baltas, 3 melnas un 2 sarkanas). Zinot, ka notikumam A "tiks izvilkta balta lod�te" un notikumam B "tiks izvilkta melna lod�te", varb�t�bas ir attiec�gi P(A)=5/10 un P(B)=3/10, un, iev�rojot, ka A un B ir nesavienojami, m�s uzreiz varam rakst�t:
P(A+B) = 5/10 + 3/10 = 8/10.
Notikums A+B �eit noz�m� "tiks izvilkta balta vai melna lod�te". Pret�jais notikums ~(A+B) �ai gad�jum� noz�m� "tiks izvilkta sarkana lod�te". T� varb�t�ba
P(~(A+B)) = 1 - P(A+B) = 1 - 8/10 = 2/10.
�aj� vienk�r�aj� uzdevum�, protams, nebija vajadz�bas lietot r��in��an� varb�t�bu saskait��anas likumu u.c. k�rtulas. Visas varb�t�bas var�ja apr��in�t tie�i. Toties sare���t�kos uzdevumos t�da tie�a r��in��ana ne vienm�r b�s iesp�jama.
Piez�me. Saskait��anas likumu viegli pier�d�t ne tikai diviem, bet ar� jebkuram citam skaitam notikumu A1, A2, ..., Ak. Nepiecie�ams tikai, lai �ie notikumi piedal�tos vien� proces� un lai nevieni divi no tiem neb�tu savienojami. Tad:
P(A1+A2+...+Ak) = P(A1) + P(A2) + ... + P(Ak).
2.uzdevums. Pie�emsim, ka tr�s notikumi A, B, C piedal�s vien� proces� un ka mums zin�mas varb�t�bas P(A), P(B), P(C), P(AB), P(AC), P(BC), P(ABC). K� apr��in�t varb�t�bu P(A+B+C)?
Nelasiet t�l�k, neatrisin�ju�i �o uzdevumu.
Tagad j�s redzat, ka notikumu summ�m varb�t�bas var�tu apr��in�t itin viegli, ja m�s prastu r��in�t varb�t�bas notikumu reizin�jumiem. Diem��l visp�r�g� gad�jum� r��in�t varb�t�bas reizin�jumiem neb�t nav viegl�k k� summ�m.
Ir zin�ms tikai viens speci�ls gad�jums, kad notikuma AB varb�t�bu var viegli izr��in�t, zinot varb�t�bas P(A), P(B). Tas ir gad�jums, kad A un B ir neatkar�gi notikumi, t.i., kad A par�d��an�s vai nepar�d��an�s nek�di neietekm� B par�d��an�s apst�k�us, un otr�di, B nek�di neietekm� A.
Piem�rs. Dotas divas urnas, no kur�m vienlaic�gi velk pa vienai lod�tei, A = "no pirm�s urnas izvilks melnu lod�ti", B = "no otr�s urnas izvilks melnu lod�ti". Skaidrs, ka - notiks A vai nenotiks - tas nek�di neizmaina B iesp�jas notikt vai nenotikt. Un otr�di, B neietekm� A iesp�jas notikt. �eit notikumi A, B ir neatkar�gi.
Piem�rs. No vienas un t�s pa�as urnas izvelk vispirms vienu un p�c tam (neatliekot pirmo atpaka�) - otru lod�ti. A = "pirm� izvilkt� lod�te b�s melna", B = "otra izvilkt� lod�te b�s melna". �ie notikumi jau vairs nav neatkar�gi, jo, piem�ram, A par�d��an�s samazina B izredzes (melno lod��u urn� k�uvis par vienu maz�k!). Toties, ja pirmo izvilkto lod�ti atliktu atpaka� un urnas r�p�gi samais�tu, tad tie pa�i notikumi A un B b�tu jau neatkar�gi, jo A vairs neietekm�tu B (un B neietekm� A, jo pats notiek v�l�k par A!).
Par�d�sim tagad, k� r��in�t P(AB), ja A, B - neatkar�gi notikumi un varb�t�bas P(A), P(B) ir zin�mas. Pie�emsim, ka notikums A piedal�s proces�, kam ir n1 vien�di iesp�jami izn�kumi, no tiem m1 izn�kumi dod notikumu A. Notikums B piedal�s cit�, neatkar�g� proces�, kuram ir n2 vien�di iesp�jami izn�kumi, no tiem m2 dod notikumu B. Apl�kosim tagad saliktu procesu, kur� sast�v no abiem iepriek� min�tajiem. Ac�mredzot �im saliktajam procesam ir n1n2 da��di (vien�di iesp�jami) izn�kumi, jo katrs no n1 pirm� procesa izn�kumiem var kombin�ties ar jebkuru no n2 otr� procesa izn�kumiem. Cik no �iem saliktajiem n1n2 izn�kumiem dos notikumu AB, t.i., A un B vienlaic�gi? T� k� abi procesi ir neatkar�gi, tad tie m1 pirm� procesa izn�kumi, kas dod A, piln�gi br�vi kombin�jas ar tiem m2 otra procesa izn�kumiem, kas dod B. Kop� san�k m1m2 kombin�cijas. T�tad no n1n2 salikt� procesa izn�kumiem m1m2 dod izn�kumu AB. Simboliski:
P(AB) = m1m2 / n1n2 = m1/n1 * m2/n2 = P(A)P(B).
Esam ieguvu�i t.s. varb�t�bu reizin��anas likumu: neatkar�gu notikumu reizin�juma varb�t�ba vien�da atsevi��o notikumu varb�t�bu reizin�jumam. �o likumu m�s te izved�m divu notikumu gad�jumam. Jums neb�s gr�ti p�rliecin�ties, ka likums
P(A1A2...Ak) = P(A1) P(A12) ... P(Ak)
der�gs jebkuram skaitam k, ja vien notikumi A1, A2, ..., Ak ir neatkar�gi, t.i., ja neviena notikuma par�d��an�s vai nepar�d��an�s neietekm� citu notikumu par�d��an�s apst�k�us.
Piem�rs. Met divus sp��u kauli�us reiz�. A = "uz pirm� kauli�a uzkrit�s cipars 1", B = "uz otr� kauli�a uzkrit�s cipars 6". A+B noz�m� "uz pirm� 1 vai uz otr� 6". M�s jau zin�m, ka
P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB).
Zin�m ar�, ka P(A)=P(B)= 1/6. Atliek atrast P(AB). Notikumi A, B ir neatkar�gi (p�rdom�jiet to!), t�tad:
P(AB) = P(A)P(B) = 1/6 * 1/6 = 1/36.
Rezult�t�:
P(A+B) = 1/6 + 1/6 - 1/36 = 11/36.
�o varb�t�bu var�ja apr��in�t ar� tie�i: no 36 vien�di iesp�jamiem ciparu p�riem notikumu A+B dod 11 p�ri:
11, 12, 13, 14, 15, 16, 26, 36, 46, 56, 66,
t�tad P(A+B) = 11/36, kas sakr�t ar "teor�tisko" izn�kumu.
3.uzdevums. Tr�s reizes p�c k�rtas tiek mesta mon�ta. K�da varb�t�ba, ka vismaz vienu reizi uzkrit�s cipars? Tiek mesti tr�s sp��u kauli�i reiz�. K�da varb�t�ba, ka uzkrit�s vismaz viens skaitlis, kas liel�ks par 2?
4.uzdevums. Jefreitors X tr�pa m�r�� vid�ji 67 gad�jumos no 100. Cik reizes vi�am j�iz�auj, lai varb�t�ba "tr�p�t m�r�� vismaz vienreiz" b�tu ne maz�ka par 0,99? �o uzdevumu var reduc�t uz urnu ar lod�t�m: jefreitors X velk lod�tes no urnas, kur� ir 100 lod�tes (67 sarkanas un 33 baltas). P�c katras vilk�anas lod�ti ieliek atpaka� urn� un urnas saturs tiek samais�ts.
5.uzdevums. Urn� ir 1000 lod�tes, sanumur�tas ar skait�iem 1, 2, 3, ..., 1000. K�da varb�t�ba, ka, velkot vienu lod�ti, uz t�s b�s pilna pak�pe (t.i., vesela skait�a kvadr�ts, kubs, ceturt� pak�pe utt.)?
4. Kombinatorikas lieto�ana varb�t�bu teorij�
Mon�tu met 10 reizes p�c k�rtas. K�da varb�t�ba, ka cipars uzkrit�s tie�i 4 reizes? �o uzdevumu gr�ti atrisin�t ar tie�u skait��anu, jo te ir 210 =1024 vien�di iesp�jami izn�kumi (tie�i tik ir ciparu un ��rbo�u virkn��u garum� 10). Izr�d�s, ka no �iem 1024 izn�kumiem tie�i
(10*9*8*7) / (4*3*2*1) = 210
dod �etrus ciparus (un se�us ��rbo�us). T�tad mekl�t� varb�t�ba ir aptuveni 0,205.
Sast�d�t sarakstu no visiem 210 gad�jumiem, kad uzkr�t 4 cipari, b�tu p�r�k apgr�tino�i. Bet, ja 10 metienu viet� �emtu 20, tad sarakstu sast�d�t visp�r neb�tu fiziski iesp�jams. Tom�r, k� redzat, skaitli 210 var�ja ieg�t ar� vienk�r��k� ce�� - k� izteiksmes
(10*9*8*7) / (4*3*2*1)
v�rt�bu. Izstr�d�t metodes, kuras �auj visu gad�jumu uzskait��anu aizst�t ar vienk�r��kiem apr��iniem - tas ir �pa�as matem�tikas nozares - kombinatorikas uzdevums. Atcer�simies galvenos kombinatorikas rezult�tus.
1. Ja doti n da��di priek�meti, tos var izvietot vien� rind� n!=n(n-1)(n-2)...2*1 veidos (n! lasa "en faktori�ls"). Piem�ram, 4!=4*3*2*1=24.
2. Ja alfab�t� ir k burtu, tad no tiem var izveidot pavisam km da��du v�rdu garum� m. Piem�ram, ja alfab�ts sast�v no 0 un 1, tad iesp�jami 23 = 8 da��di v�rdi garum� 3:
000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111.
3. No kopas, kas sast�v no n da��diem priek�metiem, j�izv�las m priek�meti (0<=m<=n). Cik veidos to var izdar�t? Teorija atbild:
Cnm = (n(n-1)...(n-m+1)) / (m(m-1)...1)
veidos. (Simbolu Cnm lasa "kombin�cijas no n pa m.) Piem�ram:
C104 = (10*9*8*7) / (4*3*2*1) = 210.
�eit gan sauc�j�, gan skait�t�j� ir 4 (t.i. m) reizin�t�ji, skait�t�j� reizin�jums s�kas ar 10 (t.i. ar n).
4. Kombin�ciju �pa��bas:
Cnm = Cnn-m
(�eit der ar� m=0, jo Cn0 =1 p�c defin�cijas),
Cn0 + Cn1 + ... + Cnn =2n.
Pirm� �pa��ba da�reiz �auj vienk�r�ot apr��inus: piem�ram, tie�� veid� r��inot:
C107 = (10*9*8*7*6*5*4) / (7*6*5*4*3*2*1) = 120,
bet, izmantojot pirmo �pa��bu:
C107 = C103 = (10*9*8) / (3*2*1) = 120.
Atgriez�simies tagad pie uzdevuma, ar kuru s�k�s �� sada�a. Desmit reizes p�c k�rtas met mon�tu. K�da varb�t�ba, ka uzkrit�s tie�i �etri cipari (un se�i ��rbo�i)? Apz�m�sim ciparu ar 1 un ��rboni ar 0. Desmit metienu rezult�tu tad var pierakst�t k� nu��u un vieninieku virkn�ti (t.i., k� v�rdu alfab�t�, kur� sast�v no diviem burtiem: 0 un 1), piem�ram: 0010111010. Visas ��das virkn�tes ir vien�di iesp�jamas. To kopskaits ir 210 =1024 (sk. piemin�to otro kombinatorikas rezult�tu). Lai apr��in�tu pras�to varb�t�bu ("b�s 4 cipari"), atliek saskait�t, cik virkn�tes no vis�m 1024-�m satur tie�i 4 vieniniekus. ��du virkn��u b�s tik, cik veidos no skait�iem 1, 2, ...,10 var izv�l�ties �etrus skait�us (to vietu numurus virkn�t�, kur�s j�b�t vieniniekiem), t.i.,
C104 = (10*9*8*7) / (4*3*2*1) = 210.
Mekl�jam� varb�t�ba t�p�c ir
210 / 1024 ~ 0,205.
(Varb�t�bu parasti ieteicams izteikt tuvin�t� decim�lda��, t� var lab�k nov�rt�t t�s lielumu, sal�dzinot ar cit�m varb�t�b�m.)
Nedaudz gr�t�k ir risin�t l�dz�gu uzdevumu sp��u kauli�a me�anai: k�da varb�t�ba, ka 10 kauli�a metienu rezult�t� uzkrit�s tie�i 4 se�inieki (un 6 "nese�inieki")? Ar� �eit m�s katra metiena rezult�tu varam atz�m�t ar ciparu 1 (uzkritis se�inieks) vai 0 (uzkritis "nese�inieks"). Desmit metienu s�rijas rezult�tu ar� var pierakst�t k� ciparu virkn�ti x1 x2 ... x10 (�eit katrs xi ir 0 vai 1). Notikums B = "10 metienos uzkrit�s tie�i x1 x2 ... x10" ir reizin�jums no 10 notikumiem A1, A2, A3, ..., A10, kur
Ai = "i-taj� metien� uzkrit�s xi".
Skaidrs, ka P(Ai)=1/6, ja xi=1 un P(Ai)=5/6, ja xi=0. Bez tam notikumi Ai ir sav� starp� neatkar�gi (tie par�d�s da��dos metienos!). T�tad:
P(B) = P(A1A2...A10) = P(A1) P(A2) ... P(A10) = (1/6)k * (5/6)t,
kur k - vieninieku skaits virkn�t�, t - nu��u skaits taj�. Notikums C = "10 metienos uzkrit�s 4 vieninieki un 6 nulles" ir summa no 210 nesavienojamiem notikumiem Ba, kur a ir jebkura virkn�te, kas satur tie�i 4 vieniniekus un 6 nulles (��du virkn��u ir pavisam 210). Visiem a:
P(Ba) = (1/6)4 * (5/6)6,
t�p�c, pielietojot varb�t�bu saskait��anas likumu (3.sada�a), ieg�stam:
P(C) = 210 * (1/6)4 * (5/6)6 ~ 0,054.
6. uzdevums. Visp�riniet �o spriedumu, apl�kojot procesu, kur� notikums A par�d�s ar varb�t�bu p (0<=p<=1). Pier�diet, ka atk�rtojot �o procesu n reizes (n>=1), notikums A par�d�sies tie�i m reizes (0<=m<=n) ar varb�t�bu Cnm pm(1-p)n-m.
7. uzdevums. Mon�tu met 10 reizes. K�da varb�t�ba, ka uzkrit�s vismaz 3 ��rbo�i? Sp��u kauli�u met 5 reizes. K�da varb�t�ba, ka uzkrit�s tie�i 2 se�inieki? Vienlaic�gi met tr�s mon�tas un tr�s sp��u kauli�us. K�da varb�t�ba, ka uzkritu�o ��rbo�u skaits sakrit�s ar uzkritu�o se�inieku skaitu?
8. uzdevums. Septi�i grenadieri izklaid�j�s, �aujot m�r��. Pavisam doti 3 m�r�i. Uz katru m�r�i grenadieri �auj visi reiz� (vienu ��vienu katrs). Tr�s no vi�iem m�dz tr�p�t vid�ji 70 gad�jumos no 100, p�r�jie �etri - 60 gad�jumos no 100. K�da varb�t�ba, ka vismaz viens no m�r�iem paliks nesa�auts?