Divus notikumus A, B m�s nosauc�m par neatkar�giem, ja process, kur� par�d�s A, neietekm� t� procesa apst�k�us, kur� var par�d�ties B, un otr�di. �is noteikums ne vienm�r izpild�s.
Piem�rs. Urn� ir 10 lod�tes: 3 baltas un 7 melnas. Izvilksim no urnas vispirms vienu lod�ti un p�c tam (neatliekot pirmo atpaka�) - otru. Apl�kosim divus notikumus:
A = "pirm� izvilkt� lod�te ir balta",
B = "otr� izvilkt� lod�te ir balta".
Ja notikums A ir iest�jies, tad urn� paliku�as 2 baltas un 7 melnas lod�tes, un varb�t�ba p�c tam izvilkt baltu lod�ti (t.i., notikuma B varb�t�ba) ir 2/9. Toties, ja iest�jies notikums "ne A" (t.i., pirm� izvilkt� lod�te bija balta), tad urn� paliku�as 3 baltas un 6 melnas lod�tes, t�tad �ai gad�jum� B par�d�s ar varb�t�bu 3/9. K� redzat, notikuma B par�d��an�s apst�k�i ir atkar�gi no t�, vai notikums A iest�jies vai n�.
Varb�t�bu, ka notikums B par�d�sies pie nosac�juma, ka par�d�jies notikums A, apz�m�sim ar P(B|A) (lasa "B varb�t�ba, ja A"). M�su piem�r� P(B|A)=2/9. Analo�iski, P(B|~A)=3/9 (atcer�simies, ka ~A apz�m� notikumu "ne A"). Abas ��s nosac�t�s varb�t�bas at��iras no notikuma B piln�s varb�t�bas P(B) (iepriek��jos paragr�fos m�s apl�koj�m tikai piln�s varb�t�bas).
Varb�t�bu P(B) m�su piem�r� var apr��in�t ��di. Sanumur�sim visas 10 lod�tes ar skait�iem 1, 2, ...,10, numuri 1, 2, 3 lai tiek baltaj�m lod�t�m. Div�m sec�g�m lod��u vilk�an�m no urnas (pirm� izvilkt� lod�te netiek likta atpaka�) ir ��di vien�di iesp�jami izn�kumi:
(1,2) (1,3) (1,4)... (1,10)
(2,1) (2,3) (2,4)... (2,10)
(3,1) (3,2) (3,4)... (3,10)
..........................
(10,1) (10,2) (10,3)... (10,9).
Kop� t�tad ir 10*9=90 izn�kumu. Cik no tiem dod notikumu B ("otr� lod�te balta")? J�saskaita, cik p�riem tabul� otrais skaitlis ir 1, 2 vai 3. Pirmaj� rind� t�du p�ru ir divi, otraj� un tre�aj� rind� - ar� pa divi, p�r�j�s septi��s - pa tr�s. T�tad kop� 3*2+7*3=27, un m�s ieg�stam
P(B) = 27/90 = 3/10.
Sal�dzin�sim P(B) ar P(B|A) un P(B|A). Vispirms
P(B|A) = 2/9 < 3/10 = P(B).
T�tad notikuma A par�d��an�s samazina B izredzes notikt. T� ar� vajadz�ja izn�kt - A ta�u "iz�em no apgroz�bas" vienu baltu lod�ti. T�l�k,
P(B|~A) = 3/9 > 3/10 = P(B).
Notikuma ~A par�d��an�s (t.i., A nepar�d��an�s) palielina B izredzes notikt. Te ar� izpau�as notikumu A, B atkar�ba. Ja �ie notikumi b�tu neatkar�gi, tad ta�u b�tu j�izn�k
P(B|A) = P(B|~A) = P(B),
jo A vai A par�d��an�s te nedr�kst ietekm�t B izredzes par�d�ties.
Zinot varb�t�bas P(A) un P(B|A), viegli apr��in�t varb�t�bu P(AB), t.i. varb�t�bu, ka A un B par�d�sies kop�. Tas ir dabiski, jo AB par�d�s, ja par�d�s A, un tad - pie nosac�juma, ka A jau ir par�d�jies - par�d�s B. Pier�d�sim, ka
P(AB)=P(A)P(B|A).
Pie�emsim, ka notikums A par�d�s m izn�kumos proces�, kam pavisam ir n vien�di iesp�jami izn�kumi. T�tad P(A)=m/n. Pie�emsim, ka katram �� procesa izn�kumam seko otrs process, kam ir t vien�di iesp�jami izn�kumi, pie tam tajos gad�jumos, kad pirm� procesa izn�kums dod notikumu A, no �iem izn�kumiem k izn�kumi dod notikumu B. T�tad P(B|A)=k/t.
Apl�kosim tagad saliktu procesu, kur� darbojas abi tikko min�tie procesi kop�. �im "lielajam" procesam ir pavisam nt vien�di iesp�jami izn�kumi (katrs pirm� procesa izn�kums kombin�jas ar t otr� procesa izn�kumiem). No �iem nt izn�kumiem notikums AB (t.i., "A kop� ar B") par�d�s mk izn�kumos (m pirm� procesa izn�kumi, kuri dod A, kombin�jas katrs ar tiem k otr� procesa izn�kumiem, kuri dod B pie nosac�juma, ka A jau bija). T�tad:
P(AB) = mk / nt = m/n* k/t = P(A)P(B|A).
�o formulu ar� sauc par varb�t�bu reizin��anas likumu. Tre�aj� sada�� m�s par varb�t�bu reizin��anas likumu nosauc�m formulu
P(AB)=P(A)P(B),
kur notikumiem A, B bija j�b�t neatkar�giem. Te nav nek�das pretrunas, jo gad�jum�, kad A un B ir neatkar�gi, pirmaj� formul� b�s P(B|A)=P(B), un tas ir nupat ieg�t�s formulas speci�lgad�jums.
9. uzdevums. Pier�d�t t.s. piln�s varb�t�bas formulu:
P(B) = P(A)P(B|A) + P(~A)P(B|~A).
Zinot �o formulu, atgriez�simies pie ��s sada�as s�kum� min�t� uzdevuma: urn� ir 3 baltas un 7 melnas lod�tes, vispirms no urnas izvelk vienu lod�ti, p�c tam (neatliekot pirmo atpaka�) - otru. Apl�kosim notikumus:
A = "pirm� izvilkt� lod�te b�s balta",
B = "otr� izvilkt� lod�te b�s balta".
M�su uzdevums - apr��in�t P(B) (notikuma B pilno varb�t�bu), izmantojot nosac�t�s varb�t�bas P(B|A), P(B|A), ko var viegli apr��in�t:
P(A)=3/10, P(~A)=7/10, P(B|A)=2/9, P(B|A)=3/9.
P�c piln�s varb�t�bas formulas:
P(B)=3/10*2/9 + 7/10*3/9 = 27/90 = 3/10.
Sada�as s�kum� m�s to pa�u varb�t�bu ieguv�m, tie�i saskaitot gad�jumus, kad B var par�d�ties.
Analo�iski var pier�d�t ar� visp�r�g�ku formulu: ja A1, A2, A3, ..., As ir nesavienojami notikumi, kuru summas varb�t�ba ir 1, tad jebkuram notikumam B:
P(B)=P(A1)P(B|A1) + P(A12)P(B|A12) + ... + P(As)P(B|As).
(Sal. ar 9. uzdevumu, kur s=2, A1=A, A2 =~A.)
No varb�t�bu reizin��anas likuma izriet ar� ��da metode varb�t�bas P(ABC) apr��in��anai:
P(ABC)=P(AB)P(C|AB)=P(A)P(B|A)P(C|AB).
Jums neb�s gr�ti ieg�t l�dz�gu formulu priek� P(ABCD) utt. Visas ��s formulas nepiecie�amas sekojo�o uzdevumu risin��anai.
10. uzdevums. Urn� ir 20 lod�tes (12 baltas, 8 melnas). J�s izvelkat no urnas vispirms vienu lod�ti, p�c tam (neatliekot pirmo atpaka�) - otru, p�c tam (neko neliekot atpaka�) - v�l vienu. K�da varb�t�ba, ka visas tr�s lod�tes b�s baltas? K�da varb�t�ba, ka baltas b�s vismaz divas lod�tes?
11. uzdevums. Pap�ra sloksn�ti, uz kuras rakst�ts ABRAKADABRA, sagrie� atsevi��os burtos. Ieg�tos kvadr�ti�us saber kaudz�, labi samaisa un tad izvelk no tiem 4 p�c k�rtas (neatliekot nevienu atpaka�). K�da varb�t�ba, ka tiks ieg�ts v�rds DABA? K�da varb�t�ba, ka no izvilktajiem kvadr�ti�iem var�s sast�d�t v�rdu DABA?
Pavadot sv�tdienas atva�in�jumu pils�t�, jefreitors Jozefs �veiks vid�ji vien� gad�jum� no diviem atgrie�as iedz�ris. Skaidr� pr�t� �veiks m�dz tr�p�t m�r�� vid�ji 60 gad�jumos no 100, bet iedz�ris - tikai 20 gad�jumos no 100. K�rt�jo reizi �veikam atgrie�oties no pils�tas, virsleitnants Luka�s liek �veikam divreiz iz�aut m�r��, jo vi�am ir radu��s aizdomas, ka �veiks dz�ris. �veiks abas reizes aiz�auj gar�m. K�da varb�t�ba, ka �oreiz �veiks tie��m ir piedz�ries?
Pirmaj� br�d� ��iet, ka varb�t�ba vien�da ar 1. Bet t� tas, protams, nav. Mums te ir dar��ana ar diviem notikumiem:
A - "�veiks divas reizes aiz�auj gar�m",
B - "�veiks ir piedz�ries".
Uzdevums ir apr��in�t B varb�t�bu pie nosac�juma, ka iest�jies notikums A, t.i., j�apr��ina varb�t�ba P(B|A). K� to izdar�t? No k�das formulas? Varb�t�ba P(B|A) ieiet formul�
P(AB)=P(A)P(B|A).
No ��s formulas to var�tu apr��in�t, ja b�tu zin�mas varb�t�bas P(AB) un P(A).
P(AB) r��in��ana prasa zin�mu vilt�bu: vajag iev�rot, ka ne tikai P(AB)=P(A)P(B|A), bet ar� P(AB)=P(B)P(A|B).
T� k� �veiks atn�k no atva�in�juma piedz�ries vid�ji pus� gad�jumu, tad P(B)=1/2. Ar� varb�t�bu P(A|B) apr��in�t nav gr�ti. Varb�t�ba, ka �veiks, b�dams iedz�ris, netr�p�s, �aujot vienreiz, ir 4/5 (sk. uzdevuma formul�jumu). T�p�c varb�t�ba, �aujot divreiz, netr�p�t nevienu reizi, ir (4/5)2 (atcerieties varb�t�bu reizin��anas likumu, ��vieni ta�u ir neatkar�gi!). Savelkot kop�:
P(AB) = P(B)P(A|B) = 1/2*(4/5)2 = 8/25.
Tagad, lai no formulas P(AB)=P(A)P(B|A) apr��in�tu P(B|A), atliek atrast P(A). �� varb�t�ba j�r��ina p�c piln�s varb�t�bas formulas:
P(A)=P(B)P(A|B)+P(~B)P(A|~B).
Pirm� saskait�m� v�rt�ba mums jau zin�ma: 8/25. P�rliecinieties pa�i, ka P(~B) =1/2 un P(A|~B)= (2/5)2. T�tad otr� saskait�m� v�rt�ba ir 2/25 un P(A)=10/25. Rezult�t�
P(B|A) = P(AB) / P(A) = (8/25)/(10/25) = 0,800.
Tas noz�m�, ka �au�anas rezult�t� ieg�t� inform�cija stipri palielina virsleitnanta Luka�a aizdomas: vid�ji �veiks piedzeras pus� gad�jumu, bet varb�t�ba, ka vi�� piedz�ries tie�i �oreiz, ir jau 0,800. Tom�r neveiksm�g� �au�ana (divas reizes gar�m!) piln�gi neizsl�dz iesp�ju, ka �veiks �oreiz ir atgriezies skaidr� - varb�t�ba, ka t� ar� ir, vien�da 0,200 (liel�ka nek� varb�t�ba uzkrist se�iniekam, metot sp��u kauli�u!).
�eit aprakst�to varb�t�bas P(B|A) apr��in��anas metodi var uzrakst�t ar vienu formulu:
P(B|A) = P(B) P(A|B) / ( P(B) P(A|B) + P(~B)P(A|~B) ).
Par godu ang�u gar�dzniekam Tomasam Baijesam (1702-1761), kura p�t�jumi veicin�ja varb�t�bas j�dziena preciz��anu, �o formulu tagad pie�emts saukt par Baijesa formulu.
Baijesa formulu lieto ��dos gad�jumos. Pie�emsim, ka mums zin�ms, cik bie�i dotaj� eksperiment� par�d�s notikums B, t.i., zin�ma varb�t�ba P(B). Pie�emsim ar�, ka m�s zin�m, k� notikuma B par�d��an�s vai nepar�d��an�s ietekm� notikuma A izredzes par�d�ties, t.i., uzskat�sim, ka zin�mas varb�t�bas P(A|B) un P(A|~B). Ja tagad p�c k�rt�j� eksperimenta mums pazi�o, ka par�d�jies notikums A (bet nesaka neko par B par�d��anos), tad Baijesa formula �auj apr��in�t varb�t�bu P(B|A), t.i., varb�t�bu, ka tie�i �oreiz B ir par�d�jies.
Varb�t�ba P(B) atspogu�o vid�jos datus par B iest��an�s bie�umu eksperimentos. Neko nezinot par k�rt�j� eksperimenta rezult�tiem, m�s esam spiesti uzskat�t, ka �oreiz B var b�t par�d�jies ar varb�t�bu P(B). Toties zinot, ka �oreiz par�d�jies notikums A, t.i., sa�emot papildu inform�ciju par k�rt�j� eksperimenta rezult�tiem, �ai gad�jum� m�s varam preciz�t varb�t�bu, ka B var b�t par�d�jies tie�i �oreiz. �o varb�t�bas preciz��anu ar� veic Baijesa formula.
12. uzdevums. K�d� proces� var par�d�ties notikums A un notikumi H1, H2, H3, pie tam p�d�jie tr�s notikumi ir nesavienojami (t.i., divi no tiem nekad nepar�d�s kop�) un to varb�t�bu summa vien�da ar 1, t.i., P(H1)+P(H2)+P(H3)=1. Pier�d�t, ka tad jebkuram i=1, 2, 3 der formula:
P(Hi |A)= P(Hi) P(A|Hi) / ( P(H1)P(A|H1) + P(H2)P(A|H2) + P(H3)P(A|H3) ).
Ar� �o formulu sauc par Baijesa formulu. (Iepriek� tika apl�kots gad�jums, kad ir tikai A, H1 un H2, kur H1=B un H2=~B.)
13. uzdevums. Urn� ir 2 baltas, 3 melnas un 5 sarkanas lod�tes. Jums neredzot, es izvelku no urnas vienu lod�ti. P�c tam J�s izvelkat no urnas otru lod�ti (pirm� netiek likta atpaka�), t� izr�d�s melna. K�da varb�t�ba, ka pirm� izvilkt� lod�te bija: 1) balta, 2)melna, 3) sarkana?