Da��du procesu rezult�ti parasti satur ar� skaitlisku inform�ciju. Piem�ram, sp��u kauli�a me�anas rezult�ts ir viens no skait�iem 1, 2, 3, 4, 5, 6. Metot divus kauli�us reiz�, ieg�t� summa ir skaitlis no 2 l�dz 12. �aujot m�r��, rezult�ts ir skaitlis no 0 l�dz 10, utt.
��d�s situ�cij�s pie�emts run�t par gad�juma lielumiem, un apz�m�t tos ar burtiem, t�pat k� main�gos. T�, metot sp��u kauli�u, uzmestais punktu skaits ir gad�juma lielums K1, kas pie�em v�rt�bas no 1 l�dz 6 ar vien�d�m varb�t�b�m:
| m | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| P{K1 = m} | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |
�o tabulu pie�emts saukt par gad�juma lieluma K1 varb�t�bu sadal�jumu. Pieraksts P{K1 = m} noz�m� "varb�t�ba, ka K1 vien�ds ar m". Piem�ram:
P{K1 = 6} = 1/6.
��d� pierakst� nav nek� neparasta: vien�d�ba K1 = 6 ir notikums, kas kauli�a me�anas proces� var notikt vai nenotikt. Tikpat dabiski b�tu rakst�t ar� t�:
P{K1 <= 4} = 1 - P{K1 = 5} - P{K1 = 6} = 4/6 = 2/3,
P{K1 dal�s ar 3} = P{K1 = 3} + P{K1 = 6} = 2/6 = 1/3.
1.sada�� (tre�� et�de) m�s apl�koj�m gad�juma lielumu K2 - punktu summu, kas rodas, metot divus sp��u kauli�us reiz�. Pie tam m�s konstat�j�m, ka lieluma K2 varb�t�bu sadal�jums ir ��ds:
| m | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| P{K2 = m} | 1/36 | 1/18 | 1/12 | 1/9 | 5/36 | 1/6 | 5/36 | 1/9 | 1/12 | 1/18 | 1/36 |
T�p�c m�s varam rakst�t ar�, piem�ram, ka:
P{K2 <> 7} = 5/6,
P{|K2 - 7| > 1} =1 - 1/6 - 5/36 - 5/36 = 5/9.
M�su tre�ajam gad�juma lielumam �A = "tr�p�to punktu skaits, ��v�jam A vienreiz �aujot m�r��" varb�t�bu sadal�jums ir atkar�gs no A meistar�bas. �o sadal�jumu var nov�rt�t tikai tuvin�ti, apkopojot �au�anas rezult�tu statistiku.
Pie�emsim, ka m�s esam �o statistiku apkopoju�i diviem ��v�jiem - A un B, pie tam rezult�ti ir ��di:
| m | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| P{�A = m} | 0,02 | 0,03 | 0,05 | 0,10 | 0,15 | 0,20 | 0,20 | 0,10 | 0,07 | 0,05 | 0,03 |
| P{�A = m} | 0,01 | 0,01 | 0,04 | 0,10 | 0,25 | 0,30 | 0,18 | 0,05 | 0,03 | 0,02 | 0,01 |
(�is piem�rs aizg�ts no A. un I. Jagloma gr�matas [1973]). Kur� no abiem - A vai B j�uzskata par lab�ku ��v�ju? Kur� sacens�b�s ieg�s augst�ku vietu? Nelasiet t�l�k, nepam��in�ju�i patst�v�gi atbild�t uz �o jaut�jumu.
Manupr�t, var�tu spriest t�. ��v�js A no katriem 100 ��vieniem vid�ji 2 reizes tr�pa "p�av�", vid�ji 3 reizes- vieniniek�, 5 reizes - divniek�, utt,. 3 reizes - desmitniek�. Kop� san�k vid�ji
2*0+3*1+5*2+10*3+15*4+20*5+20*6+10*7+7*8+5*9+3*10=524.
T�tad, �aujot 100 reizes, A ieg�s vid�ji 524 punktus. Tagad vid�jais B rezult�ts:
1*0+1*1+4*2+10*3+25*4+30*5+18*6+5*7+3*8+2*9+1*10=484.
Ac�mredzot, B ir slikt�ks ��v�js: sacens�b�s A ieg�st vid�ji 524 punktus, bet B - tikai vid�ji 484.
�o apr��inu metodi var padar�t neatkar�gu no kop�j� ��vienu skaita (ja 100 ��vienu viet� m�s grib�tu apl�kot 50 vai 200 ��vienus, spriedumi ta�u b�tu l�dz�gi). Ideja: apr��in�t viena ��viena vid�jo rezult�tu:
E(�A)=0,02*0+0,03*1+...+0,03*10=5,24,
E(�B)=0,01*0+0,01*1+...+0,01*10=4,84.
T�tad ��v�js A ar katru ��vienu ieg�st "vid�ji" 5,24 punktus, bet B - 4,84 punktus. T�tad 50, 100 un 200 ��vienu vid�jie rezult�ti b�tu attiec�gi:
50*5,24=262, 50*4,84=242,
100*5,24=524, 100*4,84=484,
200*5,24=1048, 200*4,84=968.
Skait�us E(�A), E(�B) pie�emts saukt par gad�juma lielumu �A, �B vid�j�m v�rt�b�m. Tas, ka vid�j�s v�rt�bas izn�k da�skait�i (kaut gan lielumi �A, �B pie�em tikai veselas v�rt�bas), laikam m�s nemulsina: t� tas m�dz b�t ar visiem "vid�jiem" lielumiem (ja mans kaimi�� ir ap�dis vistu, tad "vid�ji" katram no mums izn�k pa pusvistai).
Visp�r�g� gad�jum�, ja gad�juma lielums X pie�em v�rt�bas a1, a2, ..., an attiec�gi ar varb�t�b�m p1, p2, ..., pn (t.i., P{X = ai} = pi un, protams, p1+p2 +...+pn = 1), tad X vid�jo v�rt�bu defin� ��di:
E(X)=p1a1 + p2a2 + ... + pnan.
Iev�rosim, ka v�rt�bas a1, a2, ..., an var�tu b�t ar� vien�das (da?as vai pat visas).
14.uzdevums. Gad�juma lielumam K1 = "punktu skaits, kas uzkr�t, metot vienu sp��u kauli�u" vid�j� v�rt�ba izn�k
E(K1) = 1/6*1 + 1/6*2 + 1/6*3 + 1/6*4 + 1/6*5 + 1/6*6 = 1/6*(1+2+3+4+5+6) =
= 1/6*(6*7)/2 = 3,5.
Apr��iniet vid�jo v�rt�bu lielumam K2 = "punktu summa, kas uzkr�t, metot divus sp��u kauli�us". Pam��iniet izdar�t to pa�u ar� lielumiem K3, K4 utt.
�� uzdevuma risin�jums stipri vienk�r�ojas, ja taj� izmanto gad�juma lielumu summas j�dzienu. Ja k�da procesa rezult�t� par�d�s divi gad�juma lielumi X, Y, tad X+Y ar� ir gad�juma lielums, kas par�d�s taj� pa�� proces�. Piem�ram, metot divus sp��u kauli�us reiz�, par�d�s divi gad�juma lielumi:
K' = "uzkritu�ais pirm� kauli�a punktu skaits",
K" = "uzkritu�ais otr� kauli�a punktu skaits".
Skaidrs, ka katra no se��m K' v�rt�b�m "kr�t" ar varb�t�bu 1/6, t�p�c E(K')=E(K1)=3,5. Analo�iski ar� E(K")=3,5. T� k� K2 =K'+K", tad k� b�s ar E(K2)? Vai tie��m
E(K2) = E(K') + E(K'') = 3,5+3,5 = 7?
Teor�ma. Ja divi gad�juma lielumi X,Y par�d�s vien� proces�, tad
E(X+Y) = E(X)+E(Y).
Bez tam, ja a,b - jebkuri re�li skait�i, tad E(aX+b) = aE(X)+b.
Pier�d�jums. Pie�emsim, ka min�tajam procesam ir pavisam n izn�kumi i1, i2, ..., in, kas par�d�s attiec�gi ar varb�t�b�m p1, p2, ..., pn, un ka pie izn�kuma ik (1<=k<=n) lielums X pie�em v�rt�bu xk, bet lielums Y - v�rt�bu yk. Tad:
E(X) = p1x1 + p2x2 + ... + pnxn,
E(Y) = p1y1 + p2y2 + ... + pnyn.
Lielums X+Y pie izn�kuma ik pie�em v�rt�bu xk+yk, t�p�c
E(X+Y) = p1(x1+y1) + p2(x2+y2) + ... + pn(xn+yn) = E(X)+E(Y),
ko ar� vajadz�ja pier�d�t.
Teor�mas otro da�u pam��iniet pier�d�t patst�v�gi.
Secin�jums. Ja gad�juma lielumi X1, X2, ..., Xm par�d�s vien� proces�, tad
E(X1+X2+...+Xm) = E(X1) + E(X2) + ... + E(Xm).
Atgriez�simies tagad pie uzdevuma apr��in�t vid�jo v�rt�bu gad�juma lielumam K2 = "punktu summa, kas uzkr�t, 2metot divus sp��u kauli�us reiz�". T� k� K2 = K'+K", kur E(K')=E(K")=3,5, tad saska�� ar tikko pier�d�to teor�mu: E(K2)=7. Sprie�ot l�dz�gi, izn�k, ka jebkuram n:
E(Kn) = 3,5n.
T�d� veid�, darbojoties ar vid�j�m v�rt�b�m, daudzus uzdevumus var atrisin�t (vai vismaz - uzmin�t atrisin�jumu) viegl�k nek� tie�u apr��inu ce��. Tas noz�m�, ka b�s ar� uzdevumi, kurus tie�� ce�� visp�r neb�s fiziski iesp�jams atrisin�t, bet vid�jo v�rt�bu izmanto�ana �aus to izdar�t.
L�dz�gi summ�m, var m��in�t izmantot ar� gad�juma lielumu reizin�jumu: ja X,Y ir gad�juma lielumi, kas par�d�s vien� proces�, tad ar� reizin�jums XY par�d�s taj� pa�� proces�. Izr�d�s, ka visp�r �emot, E(XY) nav vien�ds ar E(X)E(Y). Patie��m, ja apl�kojam viena sp��u kauli�a me�anu, un ievedam lielumus X=K1 un Y=2K1, tad, no vienas puses:
E(X)E(Y) = 3,5*2*3,5 =49,
bet, no otras puses:
E(XY) =E(2K12) = 1/6*2(12+22+32+42+52+6 ) = 91/3 ~ 30,3.
15.uzdevums. Apl�kosim divu kauli�u me�anu un divus gad�juma lielumus K', K" (skat. iepriek�). P�rliecinieties, ka E(K'K")=E(K')E(K")=(3,5)2.
K�p�c �oreiz reizin�juma vid�j� v�rt�ba izn�ca vien�da vid�jo v�rt�bu reizin�jumam? Izr�d�s, ka visam pamat� ir lielumu K', K" neatkar�ba (K' atkar�gs tikai no pirm� kauli�a, K" - tikai no otr�). Divus gad�juma lielumus, kas par�d�s vien� proces�, sauc par neatkar�giem gad�juma lielumiem, ja viena lieluma pie�emt� v�rt�ba nek�di neietekm� otra lieluma v�rt�bas, un otr�di.
Ja X, Y - neatkar�gi gad�juma lielumi, tad jebkuriem skait�iem a, b notikumi X=a, Y=b ar� b�s neatkar�gi, t�p�c
P{X=a un Y=b} = P{X=a}P{X=b}.
Izmantojot �o �pa��bu, varam pier�d�t m�s interes�jo�o teor�mu.
Teor�ma. Ja gad�juma lielumi X,Y par�d�s vien� proces� un ir neatkar�gi, tad
E(XY)=E(X)E(Y).
Pier�d�jums. Iepriek��j� pier�d�juma apz�m�jumos:
E(X)=a1P{X=a1} + a2P{X=a2} + ... + anP{X=an},
E(Y)=b1P{Y=b1 }+ b2P{Y=b2}+ ... + bnP{Y=bn}.
Sareizinot abas ��s summas, no vienas puses, ieg�sim E(X)E(Y), bet no otras puses - summu no visiem iesp�jamiem reizin�jumiem
akP{X=ak}btP{Y=bt}. (*)
�eit skait�i k, t neatkar�gi viens no otra pie�em v�rt�bas no 1 l�dz n. Saska�� ar min�to �pa��bu (jo lielumi X,Y ir neatkar�gi), saskait�mais (*) b�s vien�ds ar
akbtP{X=ak un Y=bt }.
Summ�jot visus iesp�jamos ��dus saskait�mos, m�s ieg�stam (p�c defin�cijas) vid�jo v�rt�bu E(XY). T�tad E(X)E(Y)=E(XY), ko ar� vajadz�ja pier�d�t.
Zinot �o teor�mu, iepriek��j� uzdevuma risin�jums k��st trivi�ls.
16.uzdevums. Apl�kosim mon�tas me�anu un gad�juma lielumu Cn = "n metienos uzkritu�o ciparu skaits". P�rliecinieties, ka E(Cn) =n/2.
8. Dispersija. �ebi�eva nevien�d�ba
Apl�kosim divus gad�juma lielumus X,Y, kuriem abiem ir vien�da vid�j� v�rt�ba: E(X)=E(Y)=a. Ja �ie lielumi nav piln�gi vien�di, ar ko tie var sav� starp� at��irties? K� t�l�t redz�sim, �oti b�tiska at��ir�ba var b�t: cik bie�i un cik t�lu lielumi X,Y novirz�s no savas vid�j�s v�rt�bas. Ja lieluma X v�rt�bas parasti atrodas tuvu vid�jai v�rt�bai E(X), tad �� vid�j� v�rt�ba ir labs lieluma X raksturojums. Toties otrajam lielumam Y, ja tas bie�i novirz�s t�lu no savas vid�j�s v�rt�bas E(Y), �� vid�j� v�rt�ba ir vairs tikai �oti tuvin�ts raksturojums. Piem�ram apl�kosim divus ��dus gad�juma lielumus:
| m | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| P{X=m} | 1/12 | 1/12 | 1/3 | 1/3 | 1/12 | 1/12 |
| P{Y=m} | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |
Viegli p�rliecin�ties, ka E(X)=E(Y)=3,5. Toties:
P{|X-3,5| > 1} = 1/3, bet P{|Y-3,5| > 1} = 2/3.
Redzam, ka X (sal�dzinot ar Y) "cie��k turas" pie savas vid�j�s v�rt�bas 3,5.
K� prec�z�k izm�r�t gad�juma lieluma "izkliedes pak�pi"? Pirm� ideja, kas n�k pr�t�: par gad�juma lieluma "izkliedes m�ru" �emsim vid�jo X v�rt�bas att�lumu no "centr�l�s" v�rt�bas E(X), t.i., E(|X - E(X)|). Jo maz�ka ir izteiksmes E(|X - E(X)|) v�rt�ba, jo maz�k lielums X "tiecas" novirz�ties no E(X).
17.uzdevums. Apl�kosim gad�juma lielumus G1, G2, ..., Gn , ..., katrs no tiem pie�em v�rt�bu 1 ar varb�t�bu p (0<=p<=1), un v�rt�bu 0 - ar varb�t�bu 0. Summu G1+G2+...+Gn apz�m�sim ar Sn. Zinot, ka E(Sn)=np, p�rliecinieties, ka:
E(|S1 - p|) = 2p(1-p),
E(|S2 - 2p|) = 4p(1-p)max(p,1-p).
Vai Jums izdosies apr��in�t ar� E(|S3 - 3p|)?
K� redzat, "izkliedes m�rs" E(|X-E(X)|) pat �oti vienk�r��s situ�cij�s noved pie p�r�k sare���t�m formul�m. �� neveiksme piespiedusi matem�ti�us izm��in�t citu "izkliedes m�ru":
D(X)=E((X - E(X))2),
nosaucot to par gad�juma lieluma X dispersiju. �eit att�luma |X - E(X)| viet� tiek �emts �� att�luma kvadr�ts. Ar� te var teikt: jo dispersija D(X) ir maz�ka, jo maz�k X "tiecas" novirz�ties no savas vid�j�s v�rt�bas.
Izv�r�ot dispersijas defin�ciju, izn�k, ka ja gad�juma lielums X pie�em v�rt�bas a1, a2, ..., ak ar varb�t�b�m p1, p2, ..., pk (visu pi summa ir 1) tad
D(X)=p1(a1 - E(X))2 + p2(a2 - E(X))2 + ... + pk(ak - E(X))2. (*)
Piez�me. Tagad - datoru laikmet� "izkliedes m�ra" E(|X - E(X)|) "slikt�s" matem�tisk�s �pa��bas vairs neliekas tik nopietns ���rslis. Dators viegli apr��in�s k� D(X), t� E(|X - E(X)|). Varb�t, matem�ti�u pie�emtais l�mums tagad b�tu j�p�rskata?
Izr�d�s, ka D(X) apr��ini gad�juma lielumiem Sn izn�k stipri vienk�r��ki. Piem�ram, apr��in�sim D(S1). M�s jau zin�m, ka E(S1)=p. Lielums (S1-p)2 pie�em divas v�rt�bas:
(1-p)2 - ar varb�t�bu p,
(0-p)2 - ar varb�t�bu 1-p.
T�tad, p�c defin�cijas:
D(S1)=p(1-p)2 + (1-p)p2 = p(1-p)(1-p+p)=p(1-p).
L�dz�gi sprie�ot: E(S2)=2p, bet lielums (S2-2p)2 pie�em 3 v�rt�bas:
(2-2p)2 - ar varb�t�bu p2,
(1-2p)2 - ar varb�t�bu 2p(1-p),
(0-2p)2 - ar varb�t�bu (1-p)2.
T�tad:
D(S2) = p2(2-2p)2 + 2p(1-p)(1-2p)2 + (1-p)2(2p)2 =
= 2p(1-p)(p*2(1-p) + (1-2p)2 + 2p(1-p)) = 2p(1-p).
Ja v�laties, varat p�rliecinieties, ka ar� D(S3)=3p(1-p) un visp�r, visiem n>=1:
D(Sn) = np(1-p).
�o formulu var ieg�t daudz viegl�k, ja iev�ro, ka neatkar�gu gad�juma lielumu summas dispersija ir �o lielumu dispersiju summa.
Teor�ma. Ja X,Y ir neatkar�gi gad�juma lielumi, kas par�d�s vien� proces�, tad
D(X+Y)=D(X)+D(Y).
Bez tam, jebkuriem re�liem skait�iem a,b: D(aX+b)=a2D(X).
Teor�mas pirm�s da�as pier�d�jums balst�s uz vienk�r�u, bet svar�gu lemmu.
Lemma. Jebkuram gad�juma lielumam X:
D(X) = E(X2) - (E(X))2,
t.i., lieluma dispersiju var ieg�t, at�emot lieluma vid�j�s v�rt�bas kvadr�tu no lieluma X2 vid�j�s v�rt�bas.
Lemmas pier�d�jums.
D(X)=E((X-E(X))2) = E(X2 - 2XE(X) + (E(X)) 2 ) =
= E(X2) - 2E(X)E(X) + (E(X))2 = E(X2) - (E(X))2,
ko ar� vajadz�ja pier�d�t.
Piez�me. Starp citu, risinot praktiskus uzdevumus, lemmas dot� formula parasti ir lab�kais dispersijas apr��ina pa��miens. Tie��m, ja X pie�em v�rt�bas a1, a2, ..., ak ar varb�t�b�m p1, p2, ..., pk, tad E(X) un D(X) var r��in�t paral�li, piem�ram, programm�jot valod� Pascal:
E:=0; D:=0;
for i:=1 to k do begin
S:=ai*pi; E:=E+S; S:=S*ai; D=D+S;
end;
D:=D-E*E;
Turpretim, ja m�s grib�tu sekot tie�i D(X) defin�cijai (sk. formulu (*)), tad vispirms vajadz�tu apr��in�t E(X) un tikai p�c tam var�tu r��in�t un summ�t izteiksmes 2pi(ai-E(X)). Tas b�tu daudz gar�ks ce��.
18.uzdevums. Apr��iniet dispersiju gad�juma lielumiem �A, �B (sk. 7.sada�as s�kumu).
Teor�mas pier�d�jums. Saska�� ar lemmu:
D(X)=E(X2) - (E(X))2,
D(Y)=E(Y2) - (E(Y))2.
D(X+Y) = E((X+Y)2) - (E(X+Y))2 = (E(X+Y)2) - (E(X)+E(Y))2 =
= E(X2+2XY+Y2) - (E(X))2 - 2E(X)E(Y) - (E(Y))2 =
= E(X2) + 2E(XY) + E(Y2) - (E(X))2 - 2E(X)E(Y) - (E(Y))2.
T� k� lielumi X, Y ir neatkar�gi, tad E(XY)=E(X)E(Y), t�p�c reizin�jumi sa�sin�s un:
D(X+Y) = E(X2) + E(Y2) - (E(X))2 - (E(Y))2 = D(X)+D(Y).
Teor�mas otro da�u pier�diet patst�v�gi.
Tagad, izmantojot �o teor�mu, varam viegli pier�d�t, ka D(Sn) = np(1-p). Tie��m, Sn = X1+X2+...+Xn, kur visi Xi ir neatkar�gi gad�juma lielumi, kas ekvivalenti S1. T� k� D(S1) = p(1-p) m�s jau pier�d�j�m, tad D(Xi) = p(1-p) visiem i un saska�� ar teor�mu: D(Sn) = np(1-p).
19.uzdevums. P�rliecinieties, ka gad�juma lielumam X dispersija vien�da ar nulli tad un tikai tad, ja X ar varb�t�bu 1 pie�em vienu un to pa�u v�rt�bu (t.i., ja X "nemaz nav" gad�juma lielums).
J��em v�r� (sevi��i praktiskos apr��inos), ka dispersija neb�t nav univers�li piem�rojams "izkliedes m�rs". Apl�kosim, piem�ram, divus ��dus gad�juma lielumus X, Y:
| m | -5 | 0 | +5 |
| P{X=m} | 1/75 | 73/75 | 1/75 |
E(X) = 0,
D(X) = 1/75*52 + 73/75*02 + 1/75*52 = 2/3,
| m | -1 | 0 | +1 |
| P{Y=m} | 1/3 | 1/3 | 1/3 |
E(Y) = 0,
D(Y) = 1/3*12 + 1/3*02 + 1/3*12 = 2/3.
K� redzat, abiem lielumiem ir vien�das dispersijas. Vai t�p�c tie ir "vien�di izlied�ti"? Lielums X novirz�s no vid�j�s v�rt�bas "t�lu" - par +-5, ta�u tas notiek ar sam�r� nelielu varb�t�bu. Lielums Y novirz�s no 0 daudz maz�k - tikai par +-1, ta�u tas notiek ar diezgan lielu varb�t�bu. "T�lumam" un bie�umam savstarp�ji kompens�joties, izn�k vien�das dispersijas!
Dispersijas j�dzienam ir svar�ga teor�tiska noz�me. Ar t� pal�dz�bu var pier�d�t t.s. lielo skait�u likumu (sk. n�ko�o sada�u), kas teor�tiski pamato varb�t�bas j�dziena lietojam�bu praks�.
Vispirms pier�d�sim t.s. �ebi�eva nevien�d�bu (Pafnutijs �ebi�evs, 1821-1894, izcils krievu matem�ti�is).
Teor�ma. Jebkuram gad�juma lielumam X un jebkuram pozit�vam re�lam skaitlim a:
P{|X-E(X)| >= a} <= D(X) / a2.
Izsakot to v�rdiem, �� nevien�d�ba it k� neko citu neapgalvo k� jau labi zin�mo: jo maz�ka dispersija, jo maz�ka varb�t�ba, ka lielums X t�lu novirz�sies no savas vid�j�s v�rt�bas. Ta�u j�iev�ro, ka �eit tom�r ir ar� kaut kas jauns: katram novirzes lielumam a �ebi�eva nevien�d�ba �auj aptuveni nov�rt�t tik lielas novirzes varb�t�bu.
Teor�mas pier�d�jums. Ja lielums X pie�em v�rt�bas a1, a2, ..., ak ar varb�t�b�m p1, p2, ..., pk (visu pi summa vien�da ar 1), tad P{|X-E(X)| >=a } ir visu to pi summa, kam izpild�s nosac�jums |ai-E(X)|>=a. Cit�di sakot (un t� ir galven� ideja!):
(ai - E(X))2 / a2 >= 1, jeb pi <= pi (ai-E(X))2 / a2.
Tagad kreisaj� pus� summ�jam visus tos pi, kam izpild�s nosac�jums |ai-E(X)|>=a, bet labaj� pus� summ�jam pa visiem i no 1 l�dz k. Tad nevien�d�ba saglab�jas, bet kreisaj� pus� izn�k P{|X-E(X)|>=a}, un labaj� izn�k D(X)/a2, ko ar� vajadz�ja pier�d�t.
Pam��in�sim tagad ar �ebi�eva nevien�d�bas pal�dz�bu nov�rt�t varb�t�bu, ka 1000 mon�tas metienos uzkritu�o ciparu skaits stipri at��irsies no savas teor�tisk�s vid�j�s v�rt�bas 500. �emsim t�p�c X viet� gad�juma lielumu Sn, tad saska�� ar �ebi�eva nevien�d�bu:
P{|Sn - np| >= a} <= np(1-p) / a2.
T� k� mon�tai p=1/2 un m�s interes� n=1000, tad:
P{|S1000 - 500| >= a} <= 250 / a2.
Ja tagad izv�l�simies a=50, tad
P{|S1000 - 500| >= 50} <= 250/2500 = 1/10,
bet, ja a=100, tad
P{|S1000 - 500| >= 100} <= 250/10000 = 0,025.
Ja lielums X b�tu garums, izteikts metros, tad ar� vid�j� v�rt�ba E(X) b�tu garums metros. Toties dispersijas D(X) m�rvien�ba b�tu jau... kvadr�tmetri! Vai tas ir norm�li: garuma novirzi no "vid�j� garuma" m�r�t kvadr�tmetros? T�p�c da�k�rt dispersijas viet� lieto t�s kvadr�tsakni sqrt(D(X)), un �o lielumu pie�emts saukt par standartnovirzi. Gad�juma lieluma standartnovirzei ir t� pati m�rvien�ba, kas pa�am lielumam.
Izmantojot standartnovirzi, �ebi�eva nevien�d�bu var p�rrakst�t da�iem uzdevumiem �rt�k� form�: ja �emsim a = b*sqrt(D(X)), tad
P{|X-E(X)| >= b*sqrt(D(X))} <= 1 / b2.
�� nevien�d�ba apgalvo, ka gad�juma lieluma X novirze no vid�j�s v�rt�bas E(X) var p�rsniegt standartnovirzi b reizes tikai ar varb�t�bu, kas nav liel�ka par 1/b2.