9. Lielo skait�u likums

K�p�c pie mon�tas me�anas m�s ��rbo�a uzkri�anas iesp�jai pierakst�m varb�t�bu 0,5? K�p�c sp��u kauli�a katrai skaldnei m�s pierakst�m varb�t�bu 1/6? K�da tam j�ga?

No vienas puses, mums lik�s, ka mon�tas abas puses ir l�dzv�rt�gas, t�p�c, ja jau t�m ir j�pieraksta skait�i, kas summ� dod 1, tad nekas cits neatliek k� pierakst�t katrai pusei varb�t�bu 0,5. T�pat mums lik�s, ka (simetriska) sp��u kauli�a visas se�as skaldnes ir l�dzv�rt�gas, t�p�c katrai no t�m m�s pierakst�j�m varb�t�bu 1/6. Vai �ie skait�i izsaka tikai m�su subjekt�vo p�rliec�bu, ka mon�tas puses vai kauli�a skaldnes ir l�dzv�rt�gas?

K�du taust�mu labumu var dot notikuma varb�t�bas zin��ana? Jau 1.sada�� tika min�ts viens no fundament�liem dabas likumiem: ja k�da procesa visi iesp�jamie izn�kumi ir l�dzv�rt�gi, tad, �o procesu daudzreiz atk�rtojot, visi izn�kumi par�d�s aptuveni vien�di bie�i. Tas noz�m�, ka, ja notikuma A varb�t�ba ir P(A), tad, procesu atk�rtojot N reizes (N - liels skaitlis), notikums A par�d�sies aptuveni N*P(A) gad�jumos. Piem�ram, mon�tai ��rbonis kr�t aptuveni pus� gad�jumu, bet sp��u kauli�am se�inieks - aptuveni 1/6 gad�jumu. ��da inform�cija jau ir kaut kas "taust�ms": t� �auj paredz�t notikumus uz priek�u. Ja esam nol�mu�i 1000 reizes mest mon�tu, tad jau iepriek� varam r��in�ties ar to, ka uzkritu�o ��rbo�u skaits daudz neat��irsies no 500. Mon�tas me�ana, protams, ir nieko�an�s, toties tajos gad�jumos, kad mums izdodas iepriek� noteikt k�da praktiski noz�m�ga notikuma par�d��an�s bie�umu, varb�t�bu teorija da�k�rt dod pat naud� izsak�mu efektu (sk., piem�ram, otro et�di 1.sada�� ). "Efekta" meh�nisms vienm�r paliek viens un tas pats - k� pie mon�tas me�anas: iesp�jams uz priek�u paredz�t notikumu par�d��an�s bie�umu (lai ar� ne notikuma par�d��anos vai nepar�d��anos katr� atsevi��� gad�jum�).

J�s dro�i vien iev�roj�t, ka, run�jot par notikuma varb�t�bas un notikuma par�d��an�s bie�uma attiec�b�m, m�s past�v�gi lietoj�m izteicienus "aptuveni sakr�t", "daudz neat��iras". T� nav nejau��ba. Nevar pras�t, lai par�d��an�s bie�ums (t.i., notikuma par�d��an�s skaita attiec�ba pret visu m��in�jumu kopskaitu) prec�zi sakristu ar varb�t�bu. Tie��m, ja mon�tu met 1000 reizes, tad varb�t�ba, ka uzkrit�s tikai cipari (un nevis 500 cipari un 500 ��rbo�i) ir vien�da 1/2¹⁰⁰⁰ (p�rliecinieties pa�i). Tas ir �oti niec�gs skaitlis, tom�r pozit�vs skaitlis un nevis nulle! T�tad teor�tiski past�v iesp�ja, ka 1000 mon�tas metienu dos 1000 ciparu un neviena ��rbo�a. M�su p�rliec�ba, ka �� teor�tisk� iesp�ja nekad nerealiz�sies praks�, balst�s uz attiec�g� notikuma varb�t�bas niec�guma apzi�u:

1/2¹⁰⁰⁰ < 1/10³⁰⁰,

t.i., vair�k nek� 300 pirmie cipari aiz komata ir nulles!

20.uzdevums. Ja n mon�tas metienos uzkritu�o ciparu skaitu apz�m�sim ar S_n, tad viegli p�rliecin�ties, ka:

P{S₂=1}= 0,5, P{S₄=2}=0,375, P{S₆=3} ~ 0,31, P{S₈=4}~ 0,27,

t.i. varb�t�ba, ka n metienos uzkrit�s tie�i puse ciparu, n pieaugot, arvien samazin�s. Pam��iniet pier�d�t, ka P{S_2n=n} tiecas uz 0, ja n tiecas uz bezgal�bu.

�ie piem�ri r�da, ka ir v�rts pam��in�t preciz�t m�su apgalvojumu, ka bie�ums "daudz neat��iras" no varb�t�bas. Jo ar nelielu varb�t�bu bie�ums, k� redz�j�m, var t�lu novirz�ties no varb�t�bas. Grib�tos, lai mums b�tu metode, kas �autu apr��in�t, piem�ram, ar k�du varb�t�bu 1000 mon�tas metienos uzkritu�o ciparu skaits var novirz�ties no 500, teiksim, vair�k par 50. Ja ��s novirzes varb�t�ba izr�d�tos niec�ga, piem�ram, 0,001, m�s var�tu dro�i cer�t, ka praktiski vienm�r uzkritu�o ciparu skaits b�s starp 450 un 550.

Pirmaj� br�d�, p�c visu iepriek� doto uzdevumu atrisin��anas, var likties, ka nek� sare���ta te nav. Tie��m, k� redz�j�m 4.sada��, varb�t�ba, ka ciparu skaits b�s maz�ks par 450, ir

(C⁰₁₀₀₀+C¹₁₀₀₀+...+C⁴⁴⁹₁₀₀₀+) / 2¹⁰⁰⁰,

bet varb�t�ba, ka ciparu skaits b�s liel�ks par 550, ir

(C⁵⁵¹₁₀₀₀+C⁵⁵²₁₀₀₀+...+C¹⁰⁰⁰₁₀₀₀+) / 2¹⁰⁰⁰,

Pam��iniet s�kt �o varb�t�bu apr��in��anu. Jau pirm�s min�tes laik� J�s p�rliecin�sieties, ka uzdevums nav re�li veicams. Nepal�dz�s ar� tas, ja J�s paman�siet, ka abas varb�t�bas ir vien�das un ka to summa faktiski ir vien�da ar

1 - (C⁴⁵⁰₁₀₀₀+C⁴⁵¹₁₀₀₀+...+C⁵⁵⁰₁₀₀₀+) / 2¹⁰⁰⁰,

�eit ir tikai 101 saskait�mais (ab�s pirmaj�s izteiksm�s bija pa 450 saskait�mo). Bet ar to nekas nav l�dz�ts! M�s t�pat nesp�jam ne vien apr��in�t ��s izteiksmes tuvin�tu v�rt�bu, m�s nesp�jam pat izteikt kaut cik sapr�t�gus spriedumus par t�s lielumu: t� ir liel�ka par 1/10 vai maz�ka? Liel�ka par 1/100 vai maz�ka?

Radu��s tehnisk�s gr�t�bas izdodas apiet tikai ar nopietnas teorijas pal�dz�bu.

Apl�kosim procesu, kur� notikums A var par�d�ties ar varb�t�bu p (0<p<1). Atk�rtosim �o procesu n reizes, skaitot, cik rei�u par�d�sies notikums A. �o rei�u skaitu apz�m�sim ar S_n. No 4.sada�as m�s jau zin�m, ka visiem m n(0<=m<=n):

P{S_n=m} = C^m_n p^m(1-p)^n-m.

Ta�u, k� tikko konstat�j�m, �� formula nepal�dz atrisin�t m�s interes�jo�o uzdevumu l�dz galam.

T�p�c, sekojot v�sturiskai trad�cijai, vispirms pier�d�sim t.s. lielo skait�u likumu: jo vair�k rei�u atk�rto procesu, kur� ar varb�t�bu p par�d�s notikums A, jo maz�ka varb�t�ba, ka A par�d��an�s bie�ums stipri novirz�sies no p. Prec�z�k, ja process atk�rtots ("izm��in�ts") n rei�u, tad apz�m�sim ar S_n to m��in�jumu skaitu, kuros par�d�jies notikums A. Tad A par�d��an�s bie�ums b�s S_n/n. Ja m�s interes� novirzes par 1%, tad mums grib�tos zin�t, ar k�du varb�t�bu bie�ums S_n/n novirz�sies no p ne vair�k k� par 0,01, t.i. mums grib�tos nov�rt�t varb�t�bu

P{|S_n/n - p|<=0,01}.

Katram n �� varb�t�ba ir noteikts skaitlis. Lielo skait�u likums apgalvo, ka n augot, �is skaitlis tiecas uz 1. T.i., jo liel�ks n, jo maz�ka varb�t�ba, ka notikuma A par�d��an�s bie�ums S_n/n at��irsies no varb�t�bas p vair�k par 0,01. Glu�i to pa�u lielo skait�u likums apgalvo par v�l maz�ko novirzi 0,001 utt.

Teor�ma. Jebkuram (ar� �oti mazam) pozit�vam skaitlim c varb�t�ba, ka notikuma A par�d��an�s bie�ums n m��in�jumos novirz�sies no notikuma varb�t�bas p ne vair�k par c, tiecas uz 1, ja n tiecas uz bezgal�bu:

P{|S_n/n - p| <= c} -> 1.

Pier�d�jums. S�ksim ar �ebi�eva nevien�d�bu gad�juma lielumam S_n:

P{|S_n - np| >= a} <= np(1-p)/a².

Dal�sim pirm�s nevien�d�bas abas puses ar n:

P{|S_n/n - p| >= a / n} <= np(1-p)/a²

Ievietosim a viet� cn:

P{|S_n/n - p| >= c} <= p(1-p)/(nc²). (*)

Ja n tiecas uz bezgal�bu, tad lab�s puses izteiksme tiecas uz 0. Teor�ma pier�d�ta.

Lielo skait�u likumu ��d� formul�jum� jau 17.gadsimta beig�s zin�ja �veices matem�ti�is Jakobs Bernulli (1654-1705). �ebi�eva nevien�d�ba ir pusotru gadsimtu "jaun�ka", ta�u t� dod lielo skait�u likuma viselegant�ko pier�d�jumu, vienlaikus padarot to "praktisk�ku". Tie��m, �is likums apgalvot tikai, ka varb�t�ba P{|S_n/n - p| <= c} tiecas uz 1, neko nesakot par to, cik �tri tas notiek (piem�ram, nenosakot, cik lielam j�b�t n, lai varb�t�ba p�rsniegtu 0,999). Nevien�d�ba (*) �ai zi�� dod vair�k inform�cijas (s�k�k par to sk. iepriek��j�s sada�as beig�s).

Ta�u izr�d�s, ka elegant� un �oti univers�l� �ebi�eva nevien�d�ba (t� lietojama jebkuriem gad�juma lielumiem!), ja to lieto gad�juma lielumam S_n, dod novir�u varb�t�b�m ne glu�i prec�zu nov�rt�jumu. Prec�z�ku, bet stipri sare���t�ku metodi 18. gadsimt� izstr�d�ja fran�u matem�ti�i Abrahams de Muavrs (1667-1754) un Pj�rs Simons Laplass (1749-1827).

Ja procesu atk�rtojam n reizes, tad notikumam A b�tu j�par�d�s "vid�ji" np reizes. Tas noz�m�, ka izteiksmes S_n - np v�rt�bai ar lielu varb�t�bu vajadz�tu b�t "mazai". Muavrs pirmais paman�ja, ka ja S_n - np izdal�t ar standartnovirzi sqrt(np(1-p)), tad ieg�tais gad�juma lielums

T_n = (S_n - np) / sqrt(np(1-p))

"uzvedas �oti regul�ri": ja n ir �oti liels skaitlis, tad �� lieluma varb�t�bu sadal�jums vairs tikpat k� nav atkar�gs ne no p, ne no n. Simboliski to var pierakst�t t�: ja n tiecas uz bezgal�bu, tad jebkuram re�lam skaitlim x:

P{(S_n - np) / sqrt(np(1-p)) <= x} --> N(x).

T� k� N(x) ir viena konkr�ta funkcija, tad matem�ti�iem ir izdevies t�s v�rt�bas apr��in�t �oti prec�zi, sast�dot t.s. varb�t�bu integr��a tabulu. L�k, neliels ��s tabulas fragments:

Var pier�d�t, ka N(-x)=1-N(x). �� sakar�ba �auj, izmantojot m�su tabulu, atrast N(x) ar� negat�v�m x v�rt�b�m.

21.uzdevums. P�rliecinieties, ka jebkuriem diviem re�liem skait�iem a,b (a<b): ja n tiecas uz bezgal�bu, tad

P{ a<= (S_n - np) / sqrt(np(1-p)) <= b } --> N(b)-N(a),

k� ar�, ka jebkuram pozit�vam x:

P{ |S_n - np| / sqrt(np(1-p)) > x } --> 2(1-N(x)).

Izr�d�s, ka p�d�j� sakar�ba �auj iev�rojami prec�z�k (sal�dzinot ar �ebi�eva nevien�d�bu) apr��in�t varb�t�bu, ka 1000 mon�tas metienos uzkritu�o ciparu skaits novirz�sies no 500 vair�k par doto lielumu. T� k� �ai gad�jum� p=0,5 un n=1000, tad sqrt(np(1-p)) ~ 15,81 un

P{|S_n - 500|>15,81x}~ 2(1-N(x)).

Ja �emsim x=2, tad (saska�� ar tabulu) N(x) ~ 0,977, t�tad P{|S_n - 500|>31,62} ~ 0,046 ~ 1/20. T�tad neb�s nek�ds br�nums, ja p�c 1000 metieniem J�s konstat�siet, ka uzkritu�o ciparu skaits ir nevis 500, bet 468 vai 532 (kaut ar� tik lielas novirzes negad�sies bie�i).

Ja �emsim x=3, tad N(x) ~ 0,9986, un

P{|S_n - 500|>47,43}~ 0,0028 ~ 1/350 < 1/256.

T�tad varb�t�ba, ka ciparu skaits at��irsies no 500 vair�k par 47, ir jau maz�ka nek� varb�t�ba, ka uzkrit�s 8 cipari p�c k�rtas.

Un beidzot, ja �emsim x=3,28, tad N(x) ~ 0,9995, un

P{|S_n - 500|>51,86}~ 0,001.

T�tad varb�t�ba, ka ciparu skaits at��irsies no 500 vair�k par 51, ir jau maz�ka par 1/1000. Ar �o varb�t�bu var ner��in�ties: t�tad praktiski dro�i, ka 1000 metienos uzkritu�o ciparu skaits b�s starp 449 un 551. (Sal�dziniet �os rezult�tus ar tiem, ko iepriek��j�s sada�as beig�s mums izdev�s ieg�t, izmantojot �ebi�eva nevien�d�bu).

22.uzdevums. Sp��u kauli�u met 6000 reizes. Izp�tiet, cik t�lu no vid�j� skaita 1000 var novirz�ties uzkritu�o se�inieku skaits.