������ ����������
��� ������������ ������ � ���������� ������� ������ ��� ���������� ���������.
� � � � � � �. [1945]
������������ ���������� �������� ����������� � ������� ����������. - �.: ���. �����, 1970. - 121 c.
� � � � � � � �. �. [1985]
��� �������� ���� � ����� ������������ ������. - �.: ������, 1985. - 192 �.
� � � � � � � �. �. [1966]
������ �����. - �.: �����������, 1966. - 384 �.
� � � � � � � � �. [1900]
�������������� �������� // �������� ���������. - �.: �����, 1969. - ��. 11-64.
� � � � � � � � �., � � � � � � � �. [1934]
��������� ����������: ���������� ���������� � ������������ ����������. - �.: �����, 1979. - 557 �.
� � � � � � � � �., � � � � � � � �. [1939]
��������� ����������: ������ �������������. - �.: �����, 1982. - 652 �.
� � � � � � �. [1984]
������ ������ ������. - �.: ���, 1984. - 96 �.
� � � � � � � � �. �. [1979]
�������������� ������������: �������� � ������ �������������. - �.: �����, 1979. - 256 �.
� � � � � �. (Davis M., ed.) [1965]
The Undecidable. Basic papers on undecidable propositions, unsolvable problems and computable functions. - New York: Raven Press, 1965. - 440 p.
� � � � � � �. (K.J.Devlin) [1977]
The axiom of constructibility. A guide for the mathematician // Lecture Notes in Computer Science. - Berlin, Heidelberg, New-York: Springer, 1977.- Vol. 617. - 96 p.
� � � �. [1973]
������ �������� � ����� ��������. - �.: ���, 1973. - 150 �.
� � � � � � � �. �. [1984]
������� ������ � ������� �������������������. - �.: �����, 1984. - 64 �.
� � � � � � �. �. [1974]
���� �.�.������ � ������������� ������ �������� // ������ ���. ����. - 1974. - �.29, ���.5. - ��. 183-196.
� � � � � �. �. [1957]
�������� � ��������������. - �.: ���-�� ������.���., 1957.- 526 �.
� � � � � � � � �. �. [1970]
� ������� ������ � ��������� // ������� � �������. �������. ����. ���. ���������� � ��������. - 1970. - ���.9. - ��. 182-189.
� � � � � � �. �. [1973]
������ �� ��������������� ��������������� �������. - �.: �����, 1973. - 425 c.
� � � � �. (Levy P.) [1926]
Sur le principe du tiers exclu et sur les theoremes non susceptibles de demonstrations // Rev. Metaphys. Morale. - 1926. - Vol.33, N2. - P. 253-258.
� � � � � � � � � � �. �. [1970]
������������� ������������ �������� // ����. �� ����. - 1970. - �.191, N1. - ��. 279-282.
� � � � � � � � �. �. [1965]
�������� ������ �������� � XIX ����. - �.: �����, 1965. - 350 �.
� � � � � � � � �. �. [1982]
������ ������� ������� ������. - �.: �����, 1982. - 303 �.
� � � � � � � � � � �. [1976] �������� � �������������� ������. - �.: ���, 1976. - 320 �.
� � � � � ��., � � � � � � � � � � �. [1977]
�������������� ��������� � ���������� ����� // ���������� ����� �� �������������� ������: � 4 �. / ��� ���. ��.��������. - �.: �����, 1983. - �.4.- ��. 319-327.
� � � � � �. (R.Parikh) [1971]
Existence and feasibility in arithmetic // J. Symbolic Logic. - 1971. - Vol.36, N3. - P. 494-508.
� � � � � � � � �. �. [1975]
������� � ������� ��������� // ����. ���. ����. ��-��. - 1975. - �.233. - �. 191-200. � � � � � � � � �. �. [1976]
������� � ������� ��������� // ��������� �������. ����. �� ���. ������. - �������: �������, 1976. - �. 80.
� � � � � � � � �. �. [1981]
������ ������� ������. - ����: ����. ��-�, 1981. - 105 �.
� � � � � � � � �. �. [1988�]
���������, �������� � ������� ����������. - ����: ����. ��-�, 1988. - 23 �.
� � � � � � � � �. �. [1988�]
Platonism, intuition and the nature of mathematics // Heyting'88. Summer School and Conf. on Math. Logic. September, 1988, Chaika, Bulgaria. Abstracts. - Sofia: BAN, 1988. - P. 50-51.
� � � � � � � � �. [1908]
�������������� ���������� // �������� �. � �����. - �.: �����, 1983. - �. 309-320.
� � � � � �. [1977]
���������� ������ // ���������� ����� �� �������������� ������. � 4 �. / ��� ���. ��.��������. - �.: �����, 1982. - �.3. - �. 77-111.
� � � � � � � � � �. �. [1973]
� ������� ������������ ����. //������ ���. ����. - 1973. - �.28, ���.4. - �. 243-246.
� � � � � � � �. �. [1967]
������������ �������������� ������. - �.: �����, 1967. - 400 �.
� � � � � � � � � �. �. [1982]
������� ������ � ���������. - �.: �����, 1982. - 112 �.
�����������........................................... 5
1. ������� ���������� .................................... 7
1.1. ��������� - ��������� ���������� �����������... 7
1.2. ������������ ��������� ������� - �������� ��������������� ������ ... 13
1.3. �������� � �������������� ..................... 18
1.4. ���������� ������ ............................. 26
1.5. ������ ......................................... 29
1.6. ��������� ��������� ............................ 33
2. ��������������� ������ �������� ....................... 37
2.1. ������������� ����������� ������ �������� ...... 37
2.2. ������������ �������������� ������ �������� .... 43
2.3. ������� �������-�������� ....................... 47
2.4. ������ �������� ���������� ..................... 61
3. ������������ ���������� ............................... 75
3.1. �� ������ ����� �� ������ ������������ ���������� ..............75
3.2. ����������� ����� � ������ ������� ............. 84
3.3. ������� � �������������� ....................... 86
4. ������� �������� ��������� ............................ 97
4.1. ������� �������� � �� ������� .................. 97
4.2. ������ � ���� �������������� ................... 102
4.3. ������������ ��������� ����� ................... 105
4.4. ���������� ������������� ������������������ ������� ��������� ����� 111
4.5. ���������� ������������� ���������� ............ 115
4.6. ���������� ������������� ����� ��������� � ���������� ...... 118
4.7. ���������� ������������� �������� ����������� ... 121
5. ������� � ��������� ................................... 126
5.1. �������� ����� ................................. 126
5.2. ����� �� ����������� ........................... 128
5.3. ������� ������ � ��������� ..................... 131
5.4. ������ ������� ������ .......................... 139
6. ������ ������� ������ ................................. 146
6.1. ���������������� �������� ������ � ��������� ... 146
6.2. ������� � ������� ��������� .................... 151
6.3. �������� ���������� � ���������� ............... 155
6.4. ������� � ���������� ������������� ............. 158
6.5. ������� ������ � ����������� ����� ............. 162
6.6. ������� ���� ................................... 164
���������� 1. �� ������ ������� .......................... 166
���������� 2. ������ ������� ������ ..................... 173
������ ���������� ........................................ 186
K.M.Podnieks. AROUND GOEDEL'S THEOREM. Riga: Zinatne, 1992, 191 pp.
CONTENTS
Preface................................................ 5
1.1. Platonism - the philosophy of working mathematicians.................................... 7
1.2. Investigation of fixed models - the essence of the mathematical method............13
1.3. Intuition and axiomatization...................... 18
1.4. Formal theories................................... 26
1.5. Logics............................................ 29
1.6. Hilbert's program................................. 33
2. Axiomatic set theory............................... 37
2.1. The origin of the intuitive set theory............ 37
2.2. Formalization of the inconsistent set theory...... 43
2.3. Zermelo-Fraenkel axioms........................... 47
2.4. Around the continuum problem...................... 61
3. First order arithmetics................................ 75
3.1. From Peano axioms to first order axioms........... 75
3.2. How to find arithmetics in other formal theories.. 84
3.3. Representation theorem............................ 86
4. Hilbert's Tenth problem................................ 97
4.1. History of the problem and its solution........... 97
4.2. Overwiew of the proof............................. 102
4.3. Investigation of the Fermat's equation............ 105
4.4. Diophantine representation of solutions of the Fermat's equation..............111
4.5. Diophantine representation of the exponent function..................................... 115
4.6. Diophantine representations of combinations and factorial............................118
4.7. Elimination of bounded universal quantors......... 121
5. Incompleteness theorems................................ 126
5.1. Liar's paradox................................ 126
5.2. Self reference lemma.............................. 128
5.3. Goedel's incompleteness theorem................... 131
5.4. Goedel's second theorem........................... 139
6. Around Goedel's theorem............................ 146
6.1. Methodological consequences....................... 146
6.2. The double incompleteness theorem................. 151
6.3. The "creativity problem" in mathematics........... 155
6.4. On the size of proofs............................. 158
6.5. The "diophantine" incompleteness theorem.......... 162
6.6. Loeb's theorem.................................. 164
Appendix I. About the model theory........................ 166
Appendix II. Around the Ramsey's theorem..................173
References................................................ 186
���� ���������� ��������
������ ������� ������
�������� �. � � � � � � �.
�������������� �������� �. � � � � �.
����������� �������� �. � � � � � � � �.
��������� �. � � � � � � � �.
��������� � ������ 05.12.91. ������ 60x84116.
������ ��������. ������ ��������.
11,16 ���.���.�., 10,52 ��.-���.�.
����� 1000 ���. ����� N .
������������ "�������" ������.
226530 ��� ����, ��.���������, 19.
��������������� ������������� N 20250.
���������� � ���� ����������� ����������
������������ "�������" ������.
226050 ����, ��.��������, 10